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相关试卷

1、已知双曲线 $E :$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0, b > 0$ ）的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，且 $|F_{1} F_{2}| = 2 \sqrt{2}$ ，圆 ${(x - \sqrt{2})}^{2} + y^{2} = 1$ 与 $E$ 的渐近线相切．

(1)、求双曲线 $E$ 的标准方程；

(2)、若 $E$ 上两点 $A, B$ 满足 $\vec{F_{2} B} = λ \vec{F_{1} A}$ （ $λ > 1$ ），且四边形 $A F_{1} F_{2} B$ 的面积为 $\frac{4}{3} \sqrt{7}$ ，求 $λ$ 的值．

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2、如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $B D ⊥ D C$ ．将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起，使 $A B ⊥ A C$ ，连接 $A C$ ，得到三棱锥 $A - B C D$ ．

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $A B D$ ；

(2)、点 $E$ 是 $B C$ 的中点，连接 $A E$ 、 $D E$ ，若 $A B = A D = \sqrt{2}$ ，
（i）求二面角 $B - A D - E$ 的正切值；
（ii）求三棱锥 $A - B C D$ 的外接球体积．

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3、若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = 1 + \sqrt{2 f (x) - {(f (x))}^{2}}$ ，则 $f (2025) + 2 f (0)$ 的最大值是．

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4、已知斜率大于零的直线 $l$ 交椭圆 $Γ :$ $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 于 $A, B$ 两点，交 $x, y$ 轴分别于 $C, D$ 两点，且 $C, D$ 是线段 $A B$ 的三等分点，则直线 $l$ 的斜率为．

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5、已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $a_{10} = 20$ ，则 $S_{10} =$ ．

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6、若函数 $f (x)$ 与函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x - y + 1 = 0$ 对称，则函数 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = 3 x + 2$ B、 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ C、 $f (x) = e^{x} - 2 x$ D、 $f (x) = \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) - x$

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7、过抛物线 $C :$ $y^{2} = 4 x$ 焦点 $F$ 的直线与抛物线交于 $A, B$ 两点，过点 $A$ 作 $C$ 的切线 $l$ ，交 $x$ 轴于点 $M$ ，过点 $B$ 作直线 $l$ 的平行线交 $x$ 轴于点 $N$ ，则 $|F M| + 4 |F N|$ 的最小值是（）

A、 $12$ B、 $10$ C、 $9$ D、 $8$

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8、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M, N$ 分别为正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 及 $A B B_{1} A_{1}$ 的中心，则异面直线 $B D$ 与 $M N$ 所成角的余弦值为（）

A、 $0$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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9、“ $\sin 2 α < 0$ ”是“ $\tan \frac{α}{2} > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要

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10、已知向量 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ ，则向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(1, 1)$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, 0)$

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11、已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = a^{2} - 4 + (a - 2) i$ （ $a \in R$ ）是纯虚数，则 $a =$ （）

A、 $2$ 或 $- 2$ B、 $2$ C、 $0$ D、 $- 2$

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12、已知集合 $A = \{x |x^{2} - x - 2 \leq 0\}$ ， $B = \{x |y = \ln x\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 2]$ B、 $(0, 2)$ C、 $[- 1, 2]$ D、 $(0, 1]$

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13、乒乓球比赛一般有两种赛制：“5局3胜制”和“7局4胜制”．“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利.

(1)、甲、乙两人进行乒乓球比赛，经统计在某个赛季的所有比赛中，在不同赛制下甲、乙两人的胜负情况如下表．请先将下面的列联表补充完整，然后根据小概率值 $α = 0.100$ 的独立性检验，分析不同赛制是否对甲获胜的场数有影响.
甲获胜场数
乙获胜场数
5局3胜
8
10
7局4胜
1
合计
20

(2)、若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为 $p$ ，没有平局．记事件 $A$ 为“甲只要取得3局比赛的胜利，比赛结束且甲获胜”，事件 $B$ 为“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”，试证明： $P (A) = P (B)$ ．

(3)、甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是 $p (p > 0.5)$ ，没有平局．若采用“赛满 $(2 n - 1)$ 局，胜方至少取得 $n$ 局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为 $P (n)$ .若采用“赛满 $(2 n + 1)$ 局，胜方至少取得 $(n + 1)$ 局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为 $P (n + 1)$ ，试比较 $P (n)$ 与 $P (n + 1)$ 的大小．
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.100
0.050
0.010
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
10.828

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14、DeepSeek是杭州一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理，解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.99；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.19．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取8个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答8个问题，答错2个问题．

(1)、求小张能全部回答正确的概率；

(2)、求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率；

(3)、设小张和DeepSeek答对的题数分别为 $X$ 和 $Y$ ，求 $X$ 的分布列，并比较 $X$ 与 $Y$ 的期望大小．

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15、北京时间2024年10月30日凌晨4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号 $F$ 遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙．为了某次航天任务，需要选拔若干名航天员参加该次任务．

(1)、若本次任务需要从4名男航天员和3名女航天员中选出4人，且至少有一名女航天员，共有多少种不同的选法？（结果用数字作答）

(2)、若从7名航天员中选出4名航天员，分配到2个不同的实验室去，每个实验室至少一名航天员，每个航天员只能去一个实验室，共有多少种不同的选派方式？（结果用数字作答）

(3)、若从7名航天员中选出4名航天员，分配到3个不同的实验室去，每个实验室至少一名航天员，每个航天员只能去一个实验室.其中航天员甲和乙必须参加，但不能分配在同一个实验室，请问共有多少种不同的选派方式？（结果用数字作答）

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16、在 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{2 \sqrt[4]{x}})}^{n} (n \geq 3, n \in N^{*})$ 的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．求：

(1)、展开式中二项式系数最大的项；

(2)、展开式中所有的有理项．

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17、随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2020年至2024年每年的交易额（取近似值）进行统计分析，结果如下表：
年份
2020
2021
2022
2023
2024
年份代码 $(t)$
1
2
3
4
5
交易额 $y$ （单位：百亿）
1.5
2
3.5
8
15

(1)、据上表数据，计算 $y$ 与 $t$ 的相关系数 $r$ （精确到0.01），并说明 $y$ 与 $t$ 的线性相关性的强弱；（若 $0.75 < |r| < 1$ ，则认为 $y$ 与 $t$ 线性相关性很强；若 $0.3 < |r| \leq 0.75$ ，则认为 $y$ 与 $t$ 线性相关性一般；若 $|r| \leq 0.3$ ，则认为 $y$ 与 $t$ 线性相关性较弱．）

(2)、利用最小二乘法建立 $y$ 关于 $t$ 的线性回归方程，并预测2025年该平台的交易额．
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y}) = 33$ ， $\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 127.5$ ， $\sqrt{51} \approx 7.14$
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ；
线性回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} t$ 中，斜率和纵截距的最小二乘估计分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{t}$ ．

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18、某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量 $Z$ （克）分为4级： $Z > 20$ 的为 $A$ 级， $18 < Z \leq 20$ 的为 $B$ 级， $16 < Z \leq 18$ 的为 $C$ 级， $14 < Z \leq 16$ 的为 $D$ 级， $Z \leq 14$ 的为废果．将 $A$ 级与 $B$ 级果称为优等果．已知蓝莓果重量 $Z$ 可近似服从正态分布 $N (15, 9)$ ．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果，记每次抽到优等果的概率为 $p$ （精确到0.1）.若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过 $n$ 次，若抽查次数 $X$ 的期望值不超过3，则 $n$ 的最大值为．
参考数据：若 $X ～ N (μ, σ^{2})$ ，则： $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ； $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ； $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

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19、设随机事件 $A, B$ ，已知 $P (A) = 0.4$ ， $P (B) = 0.3$ ， $P (A \cap B) = 0.1$ ，则 $P (B |A) =$ ．

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20、在 ${(3 x + 2)}^{5}$ 的展开式中 $x$ 的系数为．

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年份	2020	2021	2022	2023	2024
年份代码 $(t)$	1	2	3	4	5
交易额 $y$ （单位：百亿）	1.5	2	3.5	8	15

	甲获胜场数	乙获胜场数
5局3胜	8		10
7局4胜		1
合计			20

$α$	0.100	0.050	0.010	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	10.828