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相关试卷

1、记 $S_{n}$ 为正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} = 1, S_{3} = \frac{7}{4}$ ，则 $S_{5} =$ （　　）

A、 $\frac{31}{16}$ B、 $\frac{33}{16}$ C、 $\frac{31}{8}$ D、 $\frac{33}{8}$

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2、已知向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (1, - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - λ \vec{b})$ ，则实数 $λ =$ （　　）

A、1 B、2 C、3 D、5

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3、已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = |3 + 4 i|$ ，则 $z$ 的虚部为（　　）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、 $- \frac{5}{2} i$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{5}{2} i$

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4、已知集合 $A = \{x ∣ {log}_{2} x < 2\} ， B = {x ∣ |x - 1| < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （　　）

A、 $（ 0, 2 ）$ B、 $（ 0, 3 ）$ C、 $（ 1, 4 ）$ D、 $（ 1, 2 ）$

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5、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 经过点 $A (2, 4)$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若 $B$ 是 $C$ 上异于 $A$ 的一点，且直线 $A B$ 的倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ ，求线段 $A B$ 的长.

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6、抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上的点 $M$ 与焦点 $F$ 的距离为4，点 $M$ 到 $y$ 轴的距离为 $\sqrt{3 p}$ ，则抛物线的方程为．

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7、双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的渐近线方程是．

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8、已知 $A (1, 1, 0), B (2, 1, 2), C (4, 3, 1)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $| \vec{A B} | = 5$ B、 $\vec{A C} = (3, 2, 1)$ C、 $\vec{A B} ⊥ \vec{B C}$ D、平面ABC的一个法向量是 $(- 4, 5, 2)$

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9、设 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ 的两个焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，若 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，则 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、5

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10、环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速 $60 km / h$ ．经多次测试得到，该汽车每小时耗电量 $M$ （单位： $Wh$ ）与速度 $v$ （单位： $km/h$ ）的下列数据：
$v$
0
10
40
60
$M$
0
1325
4400
7200
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： $M_{1} (v) = 300 {log}_{a} v + b$ ， $M_{2} (v) = 1000 {(\frac{2}{3})}^{v} + a$ ， $M_{3} (v) = \frac{1}{40} v^{3} + b v^{2} + c v$ ．

(1)、当 $0 \leq v \leq 60$ 时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；

(2)、现有一辆同型号汽车从 $A$ 地驶到 $B$ 地，前一段是50km的国道，后一段是100km的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量 $N$ （单位：Wh）与速度的关系是： $N (v) = v^{2} - 60 v + 6400 (60 < v \leq 120)$ ，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？

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11、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{4})$ ， $- \frac{π}{4} \leq x \leq \frac{3 π}{4}$

(1)、列表，描点，画函数 $f (x)$ 的简图，结合图象得出函数的单调区间和最值；
$2 x + \frac{π}{4}$

$x$

$f (x)$

(2)、若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ， $(x_{1} \neq x_{2})$ ，求 $f (x_{1} + x_{2})$ 的值.

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12、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 5 m + 7) x^{m - 1}$ 为偶函数.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $g (x) = f (x) - a x - 3$ 在 $[1, 3]$ 上不是单调函数，求实数a的取值范围；

(3)、设函数 $h (x) = \sqrt{f (x) - x}$ ，求 $h (x)$ 的定义域和单调递增区间.

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13、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x)$ 单调递减，则不等式 $f ({log}_{3} (2 x - 3)) > f ({log}_{3} 8)$ 的解集为．

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14、函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{2 π}{3}$ C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{11 π}{9}$ 对称 D、为了得到函数 $y = 2 \sin (x - \frac{π}{3})$ 的图象，只需将 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度即可

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15、若函数 $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向右平移 $a (a > 0)$ 个单位后得到函数 $y = cos 2 x$ 的图象，则 $a$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{5 π}{12}$ C、 $\frac{7 π}{12}$ D、 $\frac{11 π}{12}$

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16、函数 $f (x) = \frac{x \log_{2} |x|}{2^{x} + 2^{- x}}$ 的部分图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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17、若命题“ $\forall x \in R, x^{2} - x + m \geq 0$ ”是假命题，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{4}]$ B、 $(- \infty, \frac{1}{4})$ C、 $(\frac{1}{4}, + \infty)$ D、 $[\frac{1}{4}, + \infty)$

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18、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$ .若 $△ A B C$ 内部有一个圆心为 $P$ ，半径为 $\sqrt{3}$ 米的圆，它沿着 $△ A B C$ 的边内侧滚动一周，且始终保持与三角形的至少一条边相切.

(1)、若 $△ A B C$ 为边长是16米的等边三角形，求圆心 $P$ 经过的路程；

(2)、若用28米的材料刚好围成这个三角形，请你设计一种 $△ A B C$ 的围成方案，使得圆心 $P$ 经过的路程最大并求出该最大值（若 $a, b, c$ 为正数，则 $a + b + c \geq 3 \sqrt[3]{a b c}$ ，当且仅当 $a = b = c$ 时取等号）.

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = 2 A B = 2$ ， E为线段 $P B$ 上一点，且 $A E ⊥ P B$ ．

(1)、求证∶ $A E ⊥$ 平面 $P B C$ ．

(2)、试问∶在线段 $B C$ 上是否存在点F，使得直线 $A F$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ？若存在，求出平面 $P A B$ 与平面 $A E F$ 夹角的余弦值；若不存在，请说明理由．

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20、已知函数 $f (x) = k (e - 1) - e^{k x}$ 与函数 $g (x) = \frac{(1 - e) ln x - 1}{x}$ 的图象有且仅有两个不同的交点，则实数 $k$ 的取值范围为.

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$v$	0	10	40	60
$M$	0	1325	4400	7200

$2 x + \frac{π}{4}$
$x$
$f (x)$