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相关试卷

1、如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，上、下底面均为正方形， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = 2$ ， $A_{1} B_{1} = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，点 $E$ 为棱 $C C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $A C_{1} / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求平面 $A B C_{1}$ 与平面 $B D E$ 夹角的正弦值.

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2、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 $\sqrt{3} a \sin B + b \cos A = 2 b$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = 2$ ， $b c = \frac{8}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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3、已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的2个白球和4个黑球，现操作如下：从袋子中随机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；若取出的是黑球，则放进一个白球，黑球不放回（其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色的球没有差异），依此规则操作2次，记袋中的白球个数为 $X$ ，则 $X$ 的数学期望为.

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4、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P在双曲线C上，O为坐标原点， $|P F_{1}| = 2 |P F_{2}| = 4 \sqrt{2}$ ， $|O P| = \sqrt{17}$ ，则双曲线C的离心率为.

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5、已知平面向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, y - 1)$ ， $x, y \in R$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为.

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6、已知正四面体 $A - B C D$ 的棱长为4，顶点 $B, C, D$ 在平面 $α$ 的同侧，点 $A \in α$ ，顶点 $B, C$ 到平面 $α$ 的距离分别为1，2，直线 $B C$ 与平面 $α$ 交于点 $E$ ，则（）

A、直线 $A C$ 与平面 $α$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ B、平面 $A B C$ 与平面 $α$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ C、 $A C ⊥ A E$ D、点 $D$ 到平面 $α$ 的距离为 $1 + 2 \sqrt{2}$

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7、设 ${(x^{2} + 3 x + 2)}^{3} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ， $a_{k} (k \in \{0, 1, 2, \dots, 6\})$ 为常数，则（）

A、 $a_{0} = 8$ B、 $a_{4} = 33$ C、 $a_{2} + a_{4} + a_{6} = 108$ D、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 108$

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8、已知函数 $f (x) = 3 \sin (2 x - \frac{π}{3}) + 1$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (\frac{π}{3}) = f (\frac{π}{2})$ C、 $f (x)$ 的值域为 $[- 2, 4]$ D、 $(\frac{π}{6}, 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 共有5项，各项均为正整数，且对 $\forall n \in \{1, 2, 3, 4\}$ ，满足 $|a_{n + 1} - a_{n}| = 1$ ，若 $k (k \in N^{*})$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 中的项，记满足题意的数列 $\{a_{n}\}$ 的个数为 $A_{k}$ ，则 $A_{2} - A_{1} =$ （）

A、12 B、14 C、16 D、18

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10、设复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 是关于x的方程 $x^{2} + m x + 1 = 0 (m \in R)$ 的两个根， $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面内所对应的点分别为 $Z_{1}$ ， $Z_{2}$ ， O为坐标原点，若 $\vec{O Z_{1}} \cdot \vec{O Z_{2}} = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $z_{1} \cdot z_{2} = 0$ B、 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ C、 $|z_{1}| \neq |z_{2}|$ D、 $z_{1} + z_{2}$ 为纯虚数

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11、已知点 $A (1, 1)$ ， $B (1, - 1)$ ，点P是抛物线 $C : y^{2} = x$ 上的动点（异于A，B两点），记直线AP的斜率为 $k_{1}$ ，直线BP的斜率为 $k_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $k_{1} - k_{2}$ 为定值 B、 $k_{1} + k_{2}$ 为定值 C、 $\frac{1}{k_{1}} - \frac{1}{k_{2}}$ 为定值 D、 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}$ 为定值

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12、已知一个圆锥的底面半径为 $\sqrt{3}$ ，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（）

A、体积为 $3 π$ B、表面积为 $2 \sqrt{3} π$ C、两条母线的夹角的最大值为 $\frac{π}{3}$ D、过顶点的截面面积的最大值为2

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13、已知实数 $a > 1$ ， $b > 1$ ，若 $\log_{a} b = 2$ ， $\log_{2} \frac{b}{a} = \frac{1}{3}$ ，则 $\log_{4} (a b) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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14、设一个随机事件的样本空间为 $Ω$ ，事件 $A, B \subseteq Ω$ ，则下列结论中不一定成立的是（）

A、 $0 \leq P (A) \leq 1$ B、 $P (A) + P (\bar{A}) = 1$ C、若 $A \subseteq B$ ，则 $P (A) \leq P (B)$ D、若 $A \cup B = Ω$ ，则 $P (A) + P (B) = 1$

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15、已知 $α$ 为第二象限角，且 $\tan α = - \sqrt{3}$ ，则 $\cos α =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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16、已知 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{3} = 2$ ， $a_{7} = 32$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、8 B、12 C、16 D、17

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，右焦点 $F$ 关于直线 $l : 2 x - y = 0$ 的对称点在圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上，点 $P (\frac{2}{3}, n) (n > 0)$ 在椭圆 $C$ 上．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知 $T$ 为 $l : x = 4$ 上的动点，过 $T$ 作椭圆 $C$ 的两条切线，切点分别为 $M$ 、 $N$ ，
①证明：直线 $M N$ 过定点，并求定点坐标；
②是否存在点 $T$ ，使得 $∠ M P F = ∠ N P F$ 成立？若存在，请求出点 $T$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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18、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为D，对于给定实数t，定义集合 $V_{f (t)} = \{x| f (x + t) \geq f (x)\}$ ．

(1)、若 $f (x) = x^{3} - 13 x$ ，求 $V_{f (2)}$ ；

(2)、若 $D = R$ ，求证：“ $y = f (x)$ 为周期函数”的充要条件是“存在非零常数t，使得 $V_{f (t)} = V_{f (- t)} = D$ ”．

(3)、若 $f (x) = \frac{1}{2} a {(x - \frac{e}{e - 1})}^{2} - x (ln x - \frac{e}{e - 1})$ ， $D = (0, + \infty)$ ，且对于任意的 $t \in D$ ，都有 $V_{f (t)} = D$ ，求实数a的取值范围．

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19、如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为等腰梯形，其中 $A B = A D = C D = 1$ ， $B C = P C = 2$ ， $C D ⊥ P B$ ．

(1)、求 $P D$ 的长；

(2)、若 $P B = 3$ ，
①求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值；
②空间中一动点 $Q$ 满足 $|\vec{B Q}| = |\vec{P Q}|$ ，求 $|\vec{A Q}|$ 的最小值．

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20、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B D = ∠ C B D = \frac{π}{6}$ ， $A B / / C D$ ， $A C = \sqrt{3}$ ．

(1)、若 $∠ B A C = \frac{π}{2}$ ，求 $\sin ∠ B D A$ ；

(2)、求平面四边形 $A B C D$ 面积的取值范围．

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