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相关试卷

1、已知集合 $A = \{2, 3\}$ ， $B = \{x \in N |x^{2} - 2 x \leq 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{1, 2, 3\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{0, 2, 3\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3\}$

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2、已知函数 $f (x) = a x + \ln x$ ，直线 $2 x - y - 1 = 0$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若对任意 $x \in [\frac{1}{e}, e^{2}]$ ，存在 $c \in [- e, 0]$ ，使得不等式 $(x + 1) f (x) \geq x^{2} + b x + c$ 成立，求 $b$ 的最大值；

(3)、若 $φ (x) = e^{x} f (x)$ ，求证：对任意 $s, t \in (1, + \infty)$ ，有 $φ (s + t) > φ (s) + φ (t)$ .

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3、把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中 $A B = A C = 3 ， ∠ B A C = ∠ B C D = 90^{\circ}$ ， $∠ C B D = 30^{\circ}$ ．将 $△ A B C$ 沿 $B C$ 翻折至 $△ P B C$ ，使得二面角 $P - B C - D$ 为直二面角．

(1)、证明： $P B ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若 $P, B, C, D$ 在同一个球面上，求该球的半径；

(3)、求平面 $P B D$ 与平面 $B C D$ 所成角的余弦值．

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4、近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到2024年某地新能源汽车销量（单位：千辆）
年份
2021
2022
2023
2024
年份代号 $x$
1
2
3
4
销量 $y$
33
69
93
129
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ；
回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $\sum_{i = 1}^{4} x_{i} y_{i} = 966, \sum_{i = 1}^{4} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 4896, \sqrt{170} \approx 13.04$ $．$

(1)、试根据样本相关系数 $r$ 的值判断该地汽车销量 $y$ 与年份代号 $x$ 的线性相关性强弱（ $0.75 \leq |r| \leq 1$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 的线性相关性较强， $|r| < 0.75$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 的线性相关性较弱）；（精确到0.001）

(2)、建立 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量．

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5、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $tan A = \frac{cos B}{1 + sin B}$ ．

(1)、若 $C = \frac{2 π}{3}$ ，求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆半径为1，当 $△ A B C$ 的面积取最大值时，求 $\frac{b}{a^{2}}$ ．

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6、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，且满足 $|B D| = \frac{1}{3} |D C|$ ，点 $E$ 为线段 $A D$ 上任意一点（除端点外），若实数 $x$ ， $y$ 满足 $\vec{B E} = x \vec{B A} + y \vec{B C}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为

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7、 $x {(1 - x)}^{6}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为.

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8、已知正四面体 $P - A B C$ 的棱长为2，下列说法正确的是（）

A、此正四面体的表面积为 $3 \sqrt{3}$ B、此正四面体外接球的表面积为 $6 π$ C、此正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 D、从此正四面体6条棱中任取2条，这2条棱垂直的概率为 $\frac{2}{5}$

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9、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} {cos}^{2} x - sin x cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (0) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{5 π}{12})$ 上单调递减 C、直线 $x = \frac{7 π}{6}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的一条对称轴 D、 $f (x)$ 的图象向右平行移动 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 为偶函数

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10、已知 $α \in (0, π)$ ，则“ $sin (π - α) = \frac{1}{2}$ ”是“ $cos α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、若复数 $z$ 满足 $| z |^{2} = i z$ ，则 $z =$ （）

A、 $- i$ B、 $i$ C、0或 $- i$ D、0或 $i$

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12、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $tan C = \frac{sin A + sin B}{cos A + cos B}$ .

(1)、求C的值.

(2)、设 $△ A B C$ 的外接圆半径为R，内切圆半径为r.
（i）若 $R = 4 \sqrt{3}$ ， $r = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长；
（ii）求 $\frac{r}{R}$ 的最大值.

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13、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ A B C$ 和 $△ P A B$ 都是边长为2的正三角形．

(1)、证明： $P C ⊥ A B$ ；

(2)、求直线 $P A$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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14、已知 $z_{1} = 1 + i$ ， $z_{2} = 7 - 2 i$ ， $z_{3} = 1 - 3 i$ ，在复平面内，复数 $z_{1} + 1$ ， $z_{2} - z_{3}$ ， $z_{1} \cdot z_{2}$ 对应的点分别为A，B，C．

(1)、求 $|\vec{B C}|$ ；

(2)、已知四点A、B、C、D组成平行四边形 $A B C D$ ，求D点坐标以及 $\cos ∠ B A D$ 的值．

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15、如图所示，为测量河对岸的塔高 $A B$ ，选取了与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ，现测得 $\tan ∠ A C B = \frac{3}{5}$ ， $C D = 50 m$ ， $∠ B C D = 75^{°}$ ， $∠ B D C = 60^{°}$ ，则塔高 $A B =$ ．

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16、已知向量 $\vec{a} = (11, 2)$ ， $\vec{b} = (- 3, 4)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标是

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17、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E为边CD的中点，P为空间内一动点，则下列说法中正确的是（）

A、当P在线段 $B C_{1}$ 上运动时，四面体 $D_{1} - A P E$ 的体积为定值 B、当P在正方体表面上运动时，若 $A P ⊥ B_{1} E$ ，则P的轨迹长度为 $3 \sqrt{2} + \sqrt{5}$ C、当P在线段AE上运动时，直线 $D_{1} P$ 与AD成角最小值为 $\frac{π}{4}$ D、当P在线段 $A_{1} C$ 上运动时，四面体 $P - A B C$ 的外接球半径的取值范围为 $[\sqrt{2}, \sqrt{6})$

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18、给出下列命题，不正确的有（）

A、两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ C、若 $\vec{a}$ 为非零向量，则 $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ 与 $\vec{a}$ 同向 D、已知 $λ$ ， $μ$ 为实数，若 $λ \vec{a} = μ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 3 A D$ ，点 $E$ 是 $C D$ 的中点.设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $- \frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{6} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$

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20、已知复数 $z = 1 + i$ ，则 $|\frac{z}{z - 2 i}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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年份	2021	2022	2023	2024
年份代号 $x$	1	2	3	4
销量 $y$	33	69	93	129