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相关试卷

1、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A_{1} D$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、 $A_{1} D //$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ B、正方体外接球体积为 $4 \sqrt{3} π$ C、存在一点 $E$ ，使得直线CE与平面 $A D D_{1} A_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ D、 $E$ 到平面 $B_{1} D_{1} C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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2、已知定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ ，满足以下两个条件：（1） $f (x) > 0$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，且 $f (1) = 1$ ；（2）对任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ 都有 $f (x_{1} + 2 x_{2}) = 4 f (x_{1}) \cdot f^{2} (x_{2})$ ，则下列关于函数 $y = f (x)$ 的表述中正确的个数为（）
① $f (0) = \frac{1}{2}$ ；② $f (- 1) = \frac{1}{4}$ ；③函数 $y = f (x)$ 有最小值；④函数 $y = f (x)$ 有最大值．

A、4 B、3 C、2 D、1

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3、如图，在等边三角形ABC中， $A B = 6$ ，点 $O$ 是靠近 $B$ 的三等分点，过 $O$ 的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N， $\vec{A B} = m \vec{A M}, \vec{A C} = n \vec{A N}$ ，则下列选项中不正确的是（）

A、 $\vec{A O} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ B、 $\cos ∠ A O C = \frac{\sqrt{7}}{21}$ C、 $2 m + n = 3$ D、 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值是 $\frac{8}{3}$

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4、圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 上的点到直线 $l : x + a y + 2 a + 2 = 0$ 距离的最大值是（）

A、7 B、5 C、3 D、2

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5、 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知角B，C满足： $2 \sin B - \sin C = 0$ ， $2 \cos B + 5 \cos C = 0$ ，则 $\cos C$ 的值是（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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6、 $\sqrt{x (6 - x)}$ 的最大值是（）

A、9 B、3 C、18 D、6

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7、已知 $sin α = \frac{3}{5}, cos β = - \frac{12}{13}, α \in (\frac{π}{2}, π), β \in (π, \frac{3 π}{2})$ ，则 $cos (α - β)$ 的值是（）

A、 $\frac{63}{65}$ B、 $- \frac{63}{65}$ C、 $- \frac{33}{65}$ D、 $\frac{33}{65}$

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8、已知复数 $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $i$ D、 $- i$

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9、已知 $A = {x \in Z ∣ - 3 < 2 x - 1 < 11}, B = {x ∣ 2 \leq x < 7}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ 2 \leq x < 6}$ B、 ${x ∣ - 1 \leq x < 7}$ C、 ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$ D、 ${2, 3, 4, 5}$

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10、已知函数 $f (x) = 2 sin x + sin 2 x .$

(1)、判断 $f (x)$ 是否为周期函数，并说明理由；

(2)、求 $f (x)$ 的最大值和最小值；

(3)、设 $n \in N^{*} ，$ 证明： $sin x + sin 2 x + sin 4 x + \dots + sin 2^{n} x \leq \frac{\sqrt{3}}{2} n + 1.$

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11、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的长轴长是短轴长的2倍，点 $P (2, 1)$ 在椭圆 $C$ 上，斜率为 $- \frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点（异于点 $P$ ）．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $△ O M N$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程；

(3)、记直线 $P M$ 与 $P N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，直线 $O M$ ， $O N$ 的斜率分别为 $k_{3}$ ， $k_{4}$ ，证明： $k_{1} k_{2} = k_{3} k_{4}$ ．

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12、如图，三棱锥 $D - A B C$ 的四个顶点均在半径为2的球O的球面上， $∠ A C B = 90^{\circ}, A D = C D$ ，点 $E, F$ 分别为棱 $A B, A C$ 的中点.

(1)、证明： $A C ⊥ D E$ ；

(2)、若 $A C = 2 \sqrt{2}, B C = 2$ ，三棱锥 $D - A B C$ 的体积为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ 时，求平面 $D B C$ 与平面 $D E F$ 所成角的余弦值.

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = n^{2} (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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14、已知 $f (x) = {(2 x - 1)}^{100} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{100} x^{100}$ ，则下列描述正确的是（）

A、 $a_{1} + a_{2} + a 3 + \dots + a_{100} = 0$ B、 $f (x)$ 的展开式中，所有含 $x$ 的偶数次项的二项式系数和为 $2^{99}$ C、 $f (- 1)$ 被7整除所得的余数是4 D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + 100 a_{100} = 100$

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15、若函数 $f (x) = A cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - π < φ < 0)$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期 $T = \frac{π}{2}$ B、 $f (\frac{π}{6}) = 1$ C、函数 $y = f (x + \frac{π}{12})$ 为奇函数 D、 $f (x)$ 的图象关于 $(\frac{7 π}{12} + \frac{k π}{2}, 0) (k \in Z)$ 对称

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16、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 $b c = 3 a^{2}$ ，且 $b + c = \frac{7}{2} a$ ，则 $\cos A =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{8}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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17、已知集合 $A = \{x |\sqrt{x} > x\}$ ， $B = \{x |2 x < 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |x > 1\}$ B、 $\{x |x < \frac{1}{2}\}$ C、 $\{x |0 < x < \frac{1}{2}\}$ D、 $\{x |\frac{1}{2} < x < 1\}$

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18、已知函数 $f (x) = x e^{3 x}$ ，记 $f_{1} (x) = f^{'} (x)$ ，且 $f_{n + 1} (x) = {f^{'}}_{n} (x)$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求 $f_{1} (x)$ ， $f_{2} (x)$ ；

(2)、设 $f_{n} (x) = (a_{n} + b_{n} x) e^{3 x}$ ， $n \in N^{*}$ ，
（ⅰ）证明数列 $\{\frac{a_{n}}{3^{n}}\}$ 是等差数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ；
（ⅱ）证明： $\frac{1}{b_{1} - 1} + \frac{1}{b_{2} - 1} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{b_{n} - 1} < \frac{3}{4}$ ．

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19、已知抛物线 $C$ 的顶点是坐标原点 $O$ ，而焦点是双曲线 $4 x^{2} - y^{2} = 1$ 的右顶点.
（1）求抛物线 $C$ 的方程；
（2）若直线 $l : y = x - 2$ 与抛物线相交于A、B两点.
①求弦长 $|A B|$ ；
②求证： $O A ⊥ O B$ .

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A B = 2$ ， $B C = 3$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点.

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $P B E$ 所成角的正弦值.

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