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相关试卷

1、已知抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $y = 2$ 与抛物线 $E$ 交于点 $R$ ，且 $|R F| = \frac{5}{2} p$ ．

(1)、求抛物线E的方程；

(2)、过F作两条互相垂直的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，这两条直线与抛物线E分别交于点 $A$ ， $B$ 和 $C$ ， $D$ ，其中点 $A$ ， $C$ 在第一象限．
（ⅰ）设 $M$ ， $N$ 分别为 $A B$ ， $C D$ 的中点，H为直线 $A C$ 与直线 $B D$ 的交点，求 $△ H M N$ 面积的最小值；
（ⅱ）过F作x轴的垂线，分别交 $A C$ ， $B D$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，判断是否存在以 $P Q$ 为直径的圆与y轴相切？如果存在，求出该圆的方程，如果不存在，说明理由．

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2、已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} - a \ln x (a \in R)$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，判断 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有唯一零点，求a的取值范围；

(3)、若 $p, q > 0$ ，且 $q e^{\frac{1}{p}} = p e^{- \frac{1}{q}}$ ，证明： $p - q > 2$ ．

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3、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为梯形， $A D / / B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $P A = P B = P D = A B = A D = 2$ ， $B C = 1$ ．

(1)、证明： $P C ⊥ A D$ ；

(2)、求二面角 $A - P C - D$ 的正弦值．

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4、袋中装有4个红球和2个黑球，第一次随机取出1个小球，若是红球则放回，否则不放回.

(1)、第二次随机取出1个小球，求两次取出的球颜色相同的概率；

(2)、第二次随机取出2个小球，记两次取出红球的个数为 $X$ ，求 $X$ 的概率分布列及数学期望.

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $(2 c - b) \cdot \cos A = a \cdot \cos B$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ， $b + c = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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6、在 $4 \times 4$ 的方格表中填入1或2，每个方格中恰好填入一个数，若方格表中每行每列的数字之和均为6，则不同的填法种数为．

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7、设直线 $2 x - y = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 m y + 2 = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $|A B| = 2$ ，则实数 $m$ 的值为．

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8、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $a_{2} + a_{5} = 6$ ， $2 a_{3} + a_{4} = 8$ ，则 $S_{10} =$ ．

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9、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆C的左右焦点，O是坐标原点，P是椭圆C上任意一点，点 $A (1, 1)$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $△ F_{1} P F_{2}$ 的周长为6 B、 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为 $\sqrt{3}$ 时， $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{6}$ C、 $△ F_{1} P A$ 周长的最小值是 $3 + \sqrt{5}$ D、 $△ F_{1} P A$ 面积的最大值为 $\frac{5}{2}$

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10、将函数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{3})$ 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列结论中正确的是（）

A、 $g (x)$ 的最小正周期为 $4 π$ B、 $g (x)$ 在 $[0, \frac{π}{3}]$ 上只有一个零点 C、 $g (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调递增 D、点 $(\frac{5 π}{2}, 0)$ 是 $g (x)$ 图象的一个对称中心

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11、若 $α$ ， $β$ ， $γ$ 表示不同的平面，l表示直线，则下列条件能得出 $α ⊥ β$ 的是（）

A、 $l \subset β$ ， $l ⊥ α$ B、 $l ⊥ β$ ， $l / / α$ C、 $α / / γ$ ， $β ⊥ γ$ D、 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$

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12、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (2 x + 1)$ 为偶函数， $f (\frac{1}{2} - 2 x)$ 为奇函数，则（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 为偶函数 C、 $f (x)$ 的最小正周期为4 D、 $f (x)$ 在 $(1, 2)$ 上单调递增

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13、已知圆柱和圆锥的高均为3，侧面积之比为 $1 : 3$ ，底面半径之比为 $1 : 2$ ，则圆锥的体积为（）

A、 $27 π$ B、 $36 π$ C、 $72 π$ D、 $108 π$

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14、若 $tan (α + \frac{π}{4}) = 7$ ，则 $\sin 2 α$ 的值为（）

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $\frac{24}{25}$ C、 $- \frac{\sqrt{7}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

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15、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{1}{2} x$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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16、已知一组数据：4，6，a，10，12的平均数为8，则该组数据的第40百分位数为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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17、已知 $\vec{a} = (3, m)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、4 B、1 C、 $\sqrt{17}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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18、命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 6 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 6 \leq 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 6 < 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 6 > 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 6 \leq 0$

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19、已知 $z = 2 + i$ ，则 $i \cdot (z - 1) =$ （）

A、 $- 1 + i$ B、 $- 1 - i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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20、已知 $f (x) = (1 - x) e^{x} - 1$ ，

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、正项数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} e^{a_{n + 1}} = e^{a_{n}} - 1$ ， $a_{1} = 1$ ，
①若不等式 $a_{n} \leq m$ 对任意的正整数n成立，求实数m的取值范围；
②若 $a_{n} \leq λ a_{n + 1}$ ，求实数λ的最小值．

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