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相关试卷

1、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M, N$ 分别为线段 $A_{1} B_{1}, C C_{1}$ 的中点， $A A_{1} = 2 B C = 2, A B = 2 \sqrt{2}$ ，平面 $A B N ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ，则四面体 $A B M N$ 的外接球的体积为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{10} π}{3}$ B、 $10 π$ C、 $5 \sqrt{10} π$ D、 $30 π$

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2、已知抛物线 $C : y^{2} = - 12 x$ 的焦点为F，动点M在C上，圆M的半径为1，过点F的直线与圆M相切于点N，则 $\vec{F M} \cdot \vec{F N}$ 的最小值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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3、把函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω}$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象. 若函数 $y = g (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上恰有 3 个零点，则正数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{5}{3}, \frac{8}{3}]$ B、 $(\frac{8}{3}, \frac{11}{3}]$ C、 $(\frac{11}{6}, + \infty)$ D、 $(\frac{8}{3}, + \infty)$

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4、已知 $x \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\cos (x + \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin x$ 的值为

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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5、某中学有初中生600名，高中生200名，为保障学生的身心健康，学校举办“校园安全知识”了竞赛.现按比例分配的分层随机抽样的方法，分别抽取初中生 $m$ 名，高中生 $n$ 名，经统计： $m + n$ 名学生的平均成绩为74分，其中 $m$ 名初中生的平均成绩为72分， $n$ 名高中生的平均成绩为 $x$ 分，则 $x =$ （）

A、74 B、76 C、78 D、80

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6、我们在学习解析儿何过程中知道椭圆、双曲线的定义分别是平面内到两定点距离之和、距离之差的绝对值等于某个定值，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现到两定点距离之积为常数的点的轨迹，我们称之为卡西尼卵形线.若定点 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = a^{2}$ ，其中 $a, c$ 均为正数，记该卡西尼卵形线为曲线 $C$ ，它的轨迹方程为 ${(x^{2} + y^{2})}^{2} + λ (x^{2} - y^{2}) = μ$ .

(1)、求参数 $λ, μ$ 的值（用含 $a, c$ 的式子表示）；

(2)、若 $P (x, y)$ 为曲线上一点，求证： $|y| \leq \frac{a^{2}}{2 c}$ ， $|x| \leq \sqrt{a^{2} + c^{2}}$ ；

(3)、若 $a = c = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，求证：曲线 $C$ 恰经过 $3$ 个整点（横、纵坐标均为整数的点）.

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7、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都为 $2, D$ 为 $C C_{1}$ 中点.

(1)、求证： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(2)、求平面 $A_{1} A C C_{1}$ 与面 $A_{1} B D$ 所成角的余弦值.

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8、已知函数 $f (x) = a x^{2} + 1$ ，（ $a > 0$ ）， $g (x) = x^{3} + b x$
（1）若曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = g (x)$ 在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值
（2）当 $a = 3, b = - 9$ 时，若函数 $f (x) + g (x)$ 在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围

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9、设 $[x]$ 表示不超x的最大整数（如 $[2] = 2, [\frac{5}{4}] = 1$ ）．对于给定的 $n \in N^{*}$ ，定义 $C_{n}^{x} = \frac{n (n - 1) \dots (n - [x] + 1)}{x (x - 1) \dots (x - [x] + 1)}, x \in [1, + \infty)$ ，则 $C_{8}^{\frac{3}{2}} =$ ；当 $x \in [2, 3)$ 时，函数 $C_{8}^{x}$ 的值域是．

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10、函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，若 $a, b, c$ 成等比数列且 $f (0) = - 4$ ，则 $f (x)$ 值域为.

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11、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} =$ ；

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12、曲线 $C$ 是平面内与三个定点 $F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ 和 $F_{3} (0, 1)$ 的距离的和等于 $2 \sqrt{2}$ 的点的轨迹， $P$ 为 $C$ 上一点，则（）

A、曲线 $C$ 关于 $x$ 轴对称 B、存在点P，使得 $|P F_{3}| = \sqrt{2}$ C、 $△ F_{1} P F_{2}$ 面积的最大值是1 D、存在点 $P$ ，使得 $∠ F_{1} P F_{2}$ 为钝角

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13、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 与等比数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}, T_{n}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、数列 $\{2^{a_{n}}\}$ 是等比数列 B、 $T_{n}$ 可能为 $2^{n} - 1$ C、数列 $\{\frac{S_{n}}{n - 1}\}$ 是等差数列 D、数列 $\{b_{n}^{2}\}$ 是等比数列

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14、有一组样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ，由这组数据得到新样本数据 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， …， $y_{n}$ ，其中 $y_{i} = x_{i} + c$ ( $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n), c$ 为非零常数，则（）

A、两组样本数据的样本平均数相同 B、两组样本数据的样本中位数相同 C、两组样本数据的样本标准差相同 D、两组样本数据的样本极差相同

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15、有四张卡片，每张卡片的一面上写着英文字母，则另外一面上写着数字.现在规定：当牌的一面写着数字7时，另外一面必须写着字母 $H$ .你的任务是：为了检验下面4张卡牌是否有违反规定的写法，你需要翻看哪些牌？（）

A、①② B、②③ C、②④ D、④③

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16、设10≤x₁＜x₂＜x₃＜x₄≤10⁴ ， x₅=10⁵ ，随机变量 $ξ_{1}$ 取值x₁、x₂、x₃、x₄、x₅的概率均为0.2，随机变量 $ξ_{2}$ 取值 $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ 、 $\frac{x_{2} + x_{3}}{2}$ 、 $\frac{x_{3} + x_{4}}{2}$ 、 $\frac{x_{4} + x_{5}}{2}$ 、 $\frac{x_{5} + x_{1}}{2}$ 的概率也均为0.2，若记 $D ξ_{1}$ 、 $D ξ_{2}$ 分别为 $ξ_{1}$ 、 $ξ_{2}$ 的方差，则（　　）

A、 $D ξ_{1}$ > $D ξ_{2}$ B、 $D ξ_{1}$ = $D ξ_{2}$ C、 $D ξ_{1}$ < $D ξ_{2}$ D、 $D ξ_{1}$ 与 $D ξ_{2}$ 的大小关系与x₁、x₂、x₃、x₄的取值有关

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17、已知 $a, b \in R$ ，且 $a > b$ ，则（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $\frac{b}{a} < 1$ C、 $\lg (a - b) > 0$ D、 ${(\frac{1}{2})}^{a} < {(\frac{1}{2})}^{b}$

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18、已知空间向量 $\vec{m}, \vec{n}$ 满足 $\vec{m} - \vec{n} = (1, 2, 3), \vec{m} + \vec{n} = (0, - 2, 1)$ ，则 $| \vec{m} |^{2} - | \vec{n} |^{2} =$ （）

A、 $- 2$ B、1 C、0 D、 $- 1$

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19、函数 $f (x) = - 3 tan (2 x - 7)$ 的最小正周期为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $2 π$

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20、把函数 $y = ln (x + 1)$ 的图象按向量 $\vec{m} = (2, 0)$ 平移，得到 $y = f (x)$ 的图象，则 $f (x) =$ （）

A、 $ln (x - 1)$ B、 $ln (x + 3)$ C、 $ln (x + 1) + 2$ D、 $ln (x + 1) - 2$

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