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相关试卷

1、已知复数 $z = \frac{5}{2 + i}$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $i$ D、 $- i$

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2、已知函数 $f (x) = e^{x} + a \sin x + b \ln x + c x - 2, a, b, c \in R$ ．

(1)、若 $a = b = 0$ ，讨论 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的单调性；

(2)、若 $a = c = 0, b = - 1$ ，证明： $f (x) > 0$ ；

(3)、当 $a = 1, b = 0, c = - e$ 时，若 $x_{1}, x_{2} \in (0, \frac{π}{2}) (x_{1} \neq x_{2})$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ， $f (x)$ 在 $x = m (m > 0)$ 处取得极值，求证： $x_{1} + x_{2} < 2 m$ ．

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，上顶点 $B$ 的坐标为（0，1）．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知 $M$ 为 $C$ 上一点，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $N$ ，若点 $S$ 满足 $\vec{N S} = 3 \vec{N M}$ ，当点 $M$ 在 $C$ 上运动时，求点 $S$ 的轨迹方程；

(3)、过 $(- 1, 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P, Q$ 两点， $O$ 为坐标原点，直线 $O Q$ 与椭圆的另一个交点为 $G$ ，若 $△ P Q G$ 的面积 $S_{△ P Q G} = \frac{3}{2}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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4、如图，在四棱锥 $A - B C D E$ 中， $C D ⊥$ 平面 $A B C$ ， $C D ∥ B E$ ， $△ A B C$ 为等边三角形， $B E = B C = 2 C D$ ， $F$ ， $G$ 分别是 $A B$ ， $B E$ 的中点．

(1)、证明： $C F / /$ 平面 $A D E$ ；

(2)、求平面 $C D F$ 与平面 $C F G$ 的夹角的大小．

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}}{a_{n} + 4}$ ， $a_{1} = 2$ .

(1)、求证：数列 $\{\frac{1}{a_{n}} + \frac{1}{2}\}$ 是等比数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{n}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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6、已知函数 $f (x) = ln x - a x^{2} (a \in R)$ ，且 $f^{'} (2) = - \frac{15}{2}$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程.

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = a_{n} - 4 a_{n + 1}, a_{1} = - 1$ ．设 $b_{n} = \frac{8 a_{n + 4}}{n (n + 1)}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则 $T_{n} =$ ．

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8、已知函数 $f (x) = - x^{3} + x^{2} - m x$ 在定义域上不是单调函数，则实数 $m$ 的取值范围是．

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9、若圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 2 m = 0$ 的面积为 $9 π$ ，则实数 $m$ 的值为.

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10、已知点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的左、右焦点， $|F_{1} F_{2}| = 4$ ，点P，Q分别是C左、右支上一点，过点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，则下列说法正确的是（）

A、C的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、C的焦点到其渐近线的距离为1 C、若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为2 D、若P，M都位于第二象限，且 $F_{1}$ ， P、M三点共线，则 $|Q F_{1}| + |M Q| \geq \sqrt{13} + 2 \sqrt{3}$

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{4} = \frac{2}{3}, a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 $a_{3} = \frac{2}{3}$ B、 $a_{2} = - \frac{1}{2}$ C、 $a_{2025} = 3$ D、 $a_{2026} = \frac{2}{3}$

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12、某无人机爱好者组织小规模无人机表演，按照如图所示规律排列图形，若从第一组开始依次排列，则210架无人机可以同时排出的图形组数是（）

A、14 B、13 C、12 D、11

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13、已知函数 $f (x) = e^{\sin x} - 3 f^{'} (0) x$ ，其中 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则 $f (\frac{π}{3}) =$ （）

A、 $e^{\frac{\sqrt{3}}{2}} - \frac{π}{4}$ B、 $e^{\frac{1}{2}} - \frac{π}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} e^{\frac{1}{2}} - \frac{π}{3}$ D、 $\frac{1}{2} e^{\frac{\sqrt{3}}{2}} - \frac{π}{3}$

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14、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} = 2 a_{1}, S_{7} = 254$ ，则 $a_{6} =$ （）

A、32 B、64 C、128 D、256

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15、若抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点在直线 $x + 2 y - 1 = 0$ 上，则 $p =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、6

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16、椭圆 $C : \frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的焦距为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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17、在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，三棱锥 $P - A B C$ 的顶点 $A (0, - 2, 0) ， C (0, 2, 0)$ ，顶点 $B$ 在 $x O y$ 平面内，侧面 $P A C$ 绕 $A C$ 转动且与底面 $B A C$ 形成的二面角 $P - A C - B$ 为 $θ$ ，在转动过程中满足：① $P B ⊥ A C$ ；② $|P A| + |P C| = 4 \sqrt{2}$ ；③ $||B A| - |B C|| = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、点 $P$ 和点 $B$ 纵坐标是否相等？证明你的结论；

(2)、当侧面 $P A C$ 所在平面为 $y O z$ 平面时，
（i）求动点 $B$ 在 $x O y$ 平面内的轨迹方程和点 $P$ 在 $y O z$ 平面内的轨迹方程；
（ii）求三棱锥 $P - A B C$ 的体积的最大值；

(3)、当 $θ = 60 °$ ，且 $B C ⊥ A C$ 时，求三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积．

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18、已知函数 $f (x) = a e^{x} + b x^{2} (a, b \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1 ， b = 0$ 时，
（i）求 $f (x)$ 的图象在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；
（ii）过原点 $O (0, 0)$ 向 $f (x)$ 的图象作切线，求该切线的方程；

(2)、若 $b = - \frac{1}{2}$ 时，函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{2} \geq 3 x_{1}$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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19、已知在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $a = 2 ， sin B = 2 sin C$ ．

(1)、若 $A = 2 C$ ，求 $△ A B C$ 的外接圆的半径；

(2)、求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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20、某省为了解高中生对足球赛事的了解情况，特地举办了一次足球常识问卷调查，问卷的满分为100分，统计结果显示，学生成绩 $X \sim N (70 ， σ^{2})$ ，不低于60分为及格，高于80分为优秀，且优秀率为20%．根据某高中学校参加问卷的90名学生的调查结果，得到如下列联表：
性别
关注足球赛事
不关注足球赛事
合计
男
55
5
60
女
20
10
30
合计
75
15
90

(1)、根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，分析该校学生对足球赛事的关注是否与性别有关；

(2)、在这90名学生中随机抽取一名，记事件 $A$ 表示抽到“学生关注足球赛事”，事件 $B$ 表示抽到“学生是女生”，求 $P (A \cup B)$ 及 $P (B ∣ A)$ 的值；

(3)、从全省参与调查的学生中随机选出5人，这5人中及格的人数记作 $Y$ ，求 $Y$ 的期望 $E (Y)$ 与方差 $D (Y)$ ．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
常用的小概率值和相应的临界值：
$α$
0.05
0.01
0.001
$x_{0}$
3.841
6.635
10.828

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性别	关注足球赛事	不关注足球赛事	合计
男	55	5	60
女	20	10	30
合计	75	15	90

$α$	0.05	0.01	0.001
$x_{0}$	3.841	6.635	10.828