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相关试卷

1、已知抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F, A, B$ 是抛物线上两动点，下列说法正确的有（）

A、抛物线的焦点坐标为 $F (0, - 1)$ B、若 $|A F| + |B F| = 8$ ，则线段 $A B$ 的中点到 $x$ 轴的距离为6 C、以线段 $A F$ 为直径的圆与 $x$ 轴相切 D、以点 $A$ 为圆心，线段 $A F$ 的长为半径的圆与准线相切

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2、下列说法中正确的有（）

A、若样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的方差 $s^{2} = 0$ ，则所有的 $x_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ 都相等 B、在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C、以模型 $y = c e^{k x}$ 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 $z = ln y$ ，求得线性回归方程为 $\hat{z} = 0.3 x + 4$ ，则 $c, k$ 的值分别是 $4$ 和 $0.3$ D、样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的平均数 $\bar{x} = 4$ ，则样本数据 $2 - 3 x_{1}, 2 - 3 x_{2}, \dots, 2 - 3 x_{n}$ 的平均数为 $- 10$

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3、已知函数 $f (x) = sin x$ ，将 $f (x)$ 图象上点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再将所得图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象.若 $\forall α \in [- \frac{5 π}{12}, - \frac{π}{4}]$ ，总存在唯一实数 $β \in [0, m]$ ，使得 $g (α) + g (β) = 0$ ，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{3}]$ B、 $[\frac{π}{4}, \frac{5 π}{12})$ C、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{3})$ D、 $[\frac{π}{4}, \frac{5 π}{12}]$

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4、若圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上到直线 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 的距离为 $\sqrt{5}$ 的点有且仅有2个，则半径 $r$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{3 \sqrt{5}}{5})$ B、 $(\frac{3 \sqrt{5}}{5}, \sqrt{5})$ C、 $(\frac{3 \sqrt{5}}{5}, \frac{7 \sqrt{5}}{5})$ D、 $(\sqrt{5}, + \infty)$

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5、已知向量 $\vec{a} = (x + 1, x), \vec{b} = (x, 2)$ ，则下列结论正确的是（）

A、“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”的必要条件是“ $x = - 3$ ” B、“ $\vec{a} / / \vec{b}$ ”的必要条件是“ $x = 1 - \sqrt{3}$ ” C、“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”的充分条件是“ $x = 3$ ” D、“ $\vec{a} / / \vec{b}$ ”的充分条件是“ $x = 1 + \sqrt{3}$ ”

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6、已知函数 $f (x) = |2 ln x - 1|$ ，若 $f (a) = f (b), a \neq b$ ，则 $16^{a} \cdot 8^{b}$ 的最小值为（）

A、 $2^{\sqrt{3 e}}$ B、 $16^{\sqrt{3 e}}$ C、 $\sqrt{3 e}$ D、4

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7、正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{2} = 4, S_{4} = 40$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、6 B、9 C、8 D、11

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8、若 $z (1 + i) = i^{2025}$ ，则 $z =$ （）

A、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$

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9、样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的上四分位数为（）

A、6 B、6.5 C、7 D、7.5

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10、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} > 1\}, B = \{x |2^{x} < \frac{1}{2}\}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A \cap B = {x ∣ x < - 1}$ B、 $A \cap B = {x ∣ - 1 < x < 1}$ C、 $A \cup B = {x ∣ x < - 1}$ D、 $A \cup B = {x ∣ x < 1}$

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11、自 $2019$ 年底开始，一种新型冠状病毒COVID-19开始肆虐全球.人感染了新型冠状病毒后初期常见发热乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹泻等症状，严重者可致呼吸困难、脏器衰竭甚至死亡.目前筛查冠状病毒的手段主要是通过鼻拭子或咽拭子采集样本，再进行核酸检验是否为阳性来判断.假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果（阳性､阴性）是相互独立的，且每份样本是阳性结果的概率均为 $p (0 < p < 1)$ .

(1)、若 $p = \frac{1}{3}$ ，现对 $4$ 份样本进行核酸检测，求这 $4$ 份中检验结果为阳性的份数 $ξ$ 的分布列及期望；

(2)、若 $p = 1 - 2^{- \frac{1}{4}}$ ，现有 $2 k (k \in N^{*}, k \geq 2)$ 份样本等待检验，并提供“ $k$ 合 $1$ ”检验方案：将 $k (k \in N^{*}, k \geq 2)$ 份样本混合在一起检验.若检验结果为阴性，则可认为该混合样本中的每个人都为阴性；若检验结果为阳性，则要求该组中各个样本必须再逐个检验.试比较用“ $k$ 合 $1$ ”检验方案所需的检验次数 $X$ 的期望 $E (X)$ 与 $2 k$ 的大小.

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12、已知 $x = 3$ 是函数 $f (x) = a \ln (1 + x) + x^{2} - 10 x$ 的一个极值点.
（Ⅰ）求 $a$ ；
（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅲ）若直线 $y = b$ 与函数 $y = f (x)$ 的图象有3个交点，求 $b$ 的取值范围.

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13、已知 $tan α = \frac{1}{3}$ ， $α \in (0, \frac{π}{2}$ ）.

(1)、求 $\frac{sin α + 3 cos α}{2 cos α - sin α}$ 的值；

(2)、若 $cos (α - β) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $\cos β$ 的值.

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14、对于实数 $x, [x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[0.6]= 0,[- 1.2] = - 2$ .已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} (n \in N^{*})$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $[S_{1}] + [S_{2}] + \dots + [S_{25}] =$ .

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15、函数 $f (x) = 2 \cos x + \sin x$ 的最大值为.

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16、直线 $l$ ： $y = a x$ 与 $y = e^{x}$ 的图象交于 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ 两点 $(x_{1} < x_{2})$ ， $y = e^{x}$ 在A､B两点的切线交于 $C$ ， $A B$ 的中点为 $D$ ，则（）

A、 $a \leq e$ B、点 $C$ 的横坐标大于1 C、 $|x_{1} - x_{2}| < \sqrt{{(a + 2 - e)}^{2} - 4}$ D、 $C D$ 的斜率大于0

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17、函数 $f (x) = 3 \sin (2 x + φ)$ 的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (\frac{2 π}{3})$ 是 $f (x)$ 的最小值 C、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[- \frac{3}{2}, \frac{3}{2}]$ D、把函数 $y = f (x)$ 的图象上所有点向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，可得到函数 $y = 3 \sin 2 x$ 的图象

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18、下列函数在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增的有（）

A、 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ B、 $f (x) = \ln (x + 1)$ C、 $f (x) = 2^{x} + 2$ D、 $f (x) = \lg (x^{2} - 1)$

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19、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ 经过点 $(2, 2)$ ， $O$ 为抛物线的顶点，点 $A$ ， $B$ 在抛物线上，以 $A$ ， $B$ 为切点的两条切线交于点 $Q$ .

(1)、求 $p$ 的值及 $C$ 的准线方程；

(2)、设直线 $A B$ 分别与直线 $O Q$ ， $x$ 轴的交于点 $S$ ， $T$ （ $S$ ， $T$ 不重合），且 $A B ⊥ O Q$ .
（i）证明：存在定点 $D$ ，使得 $|D S|$ 为定值；
（ii）求 $\frac{|Q S|}{|S T|}$ 的最小值.

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20、已知 $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{1} b_{n} + a_{2} b_{n - 1} + \dots + a_{n - 1} b_{2} + a_{n} b_{1} = (n + 1) \cdot b_{n}$ ，且 $b_{n} = k^{n} (k \in R$ ，且 $k \neq 0)$ ．

(1)、若数列 $\{b_{n} + 3^{n}\}$ 为等比数列，求 $k$ 的值；

(2)、当 $k = 2$ 时，
（i）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（ii）设 $c_{n} = \frac{\log_{2} (2 a_{n + 2})}{b_{n} \cdot \log_{2} a_{n + 1} \cdot \log_{2} (2 a_{n + 1})} (n \in N^{*})$ ，记数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} \in [\frac{3}{4}, 1)$ ．

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