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相关试卷

1、设复数 $z = \frac{1 + 3 i}{2 + i}$ ，则下列命题结论正确的是（）

A、 $z$ 的虚部为1 B、 $z$ 在复平面内对应的点在第四象限 C、 $|z| = \sqrt{2}$ D、 $z$ 是方程 $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ 的根

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2、下列各式中，值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的是（）

A、 $2 sin 15^{\circ} cos 15^{\circ}$ B、 $\frac{1 + tan 15^{\circ}}{2 (1 - tan 15^{\circ})}$ C、 $1 - 2 {sin}^{2} 15^{\circ}$ D、 $\frac{2 tan 15^{\circ}}{1 - {tan}^{2} 15^{\circ}}$

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3、若角 $θ$ 的终边与单位圆的交点坐标是 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $\cos (\frac{π}{2} + θ) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4、设四边形 $A B C D$ 为矩形， $|\vec{A B}| = 6$ ， $|\vec{A D}| = 4$ ，若点 $M$ ， $N$ 满足 $\vec{B M} = \frac{1}{3} \vec{M C}$ ， $\vec{D N} = 2 \vec{N C}$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N} =$ （）

A、28 B、32 C、36 D、40

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5、在 $△ A B C$ 中，点 $P$ 是 $∠ B A C$ 内一点，

(1)、如图，若 $\vec{B O} = λ \vec{B C}, \vec{A P} = \frac{3}{7} \vec{A O}$ ，过点 $P$ 的直线 $l$ 交直线 $A B, A C$ 分别于 $M, N$ 两点，且 $\vec{A M} = m \vec{A B}, \vec{A N} = n \vec{A C}$ ，已知 $λ, m, n$ 为非零实数.试求 $\frac{1 - λ}{m} + \frac{λ}{n}$ 的值.

(2)、若 $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ ，且 $|\vec{A P}| = 2, \vec{A P} \cdot \vec{A B} = 2, \vec{A P} \cdot \vec{A C} = 1$ ，设 $∠ B A P = α$ ，试将 $|\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A P}|$ 表示成关于 $α$ 的函数，并求其最小值.

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6、设 $△ A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $sin (A - \frac{π}{6}) = cos A$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $b + c$ 的最大值；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $a = 1$ ，求 $b^{2} + c^{2}$ 的取值范围.

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7、如图，在几何体 ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE∩平面CDEF=EF

(1)、证明：AF//平面BDG

(2)、证明：AB//EF

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8、在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标为 $(m, - 1) (m \in R)$ ，且 $\bar{z} (1 + 3 i)$ 为纯虚数.

(1)、求 $m$ 的值：

(2)、复数求 $z_{1} = \frac{a + i^{2025}}{z}$ 在复平面对应的点在第一象限，求实数 $a$ 的取值范围.

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9、已知灯塔A在海洋观测站C的北偏东40°的方向上，A，C两点间的距离为5海里．某时刻货船B在海洋观测站C的南偏东80°的方向上，此时B，C两点间的距离为8海里，该时刻货船B与灯塔A间的距离为海里．

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10、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点M为 $C C_{1}$ 的中点，点P为底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上的动点（包括边界），则（）

A、满足 $M P //$ 平面 $B D A_{1}$ 的点P的轨迹长度为 $\sqrt{2}$ B、满足 $|M P| = \sqrt{6}$ 的点P的轨迹长度小于 $\sqrt{2}$ C、存在点P满足 $∠ A P M = 90 °$ D、存在点P满足 $P A + P M = 4$

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11、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $P$ 为 $A C$ 的中点，则三棱锥 $P - A_{1} C_{1} B$ 的外接球的表面积为（）

A、 $\frac{5}{2} π$ B、 $\frac{11}{4} π$ C、 $3 π$ D、 $\frac{13}{4} π$

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12、在 $△ A B C$ 中角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $a = 1$ ， $A = 30 °$ ， $b = x$ ，则（）

A、当 $x = \sqrt{2}$ 时， $B = 45 °$ B、当 $x > 1$ 时， $△ A B C$ 有两个解 C、当 $0 < x < 1$ 时， $△ A B C$ 只有一个解 D、对一切 $x > 0$ ， $△ A B C$ 都有解

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13、如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是 $R$ 的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为 $S_{1}$ ，截得半球的截面面积为 $S_{2}$ ，则（）

A、 $S_{1} < S_{2}$ B、 $S_{1} = S_{2}$ C、 $S_{1} > S_{2}$ D、 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的大小关系不确定

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14、在 $△ A B C$ 中， $A B = 7, B C = 3, ∠ A C B = \frac{2 π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{15 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{15 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{15}{2}$ D、 $\frac{15}{4}$

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15、已知 $\overset{⃑}{a}$ 、 $\overset{⃑}{b}$ 为单位向量，且 $| 2 \overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$

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16、复数 $z = 2 - 3 i$ 的虚部为（　　）

A、3 B、 $- 3$ C、3i D、 $- 3 i$

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17、帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的 $[m, n]$ 阶帕德近似定义为： $R (x) = \frac{a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{m} x^{m}}{1 + b_{1} x + \dots + b_{n} x^{n}}$ ，且满足： $f (0) = R (0)$ ， $f^{'} (0) = R^{'} (0)$ ， $f^{″} (0) = R^{″} (0)$ ， …， $f^{(m + n)} (0) = R^{(m + n)} (0)$ ，注： $f^{″} (x) = {[f^{'} (x)]}^{'}$ ， $f^{'''} (x) = {[f^{″} (x)]}^{'}$ ， $f^{(4)} (x) = {[f^{'''} (x)]}^{'}$ ， $f^{(5)} (x) = {[f^{(4)} (x)]}^{'}$ ， …已知函数 $f (x) = \ln (x + 1)$ 在 $x = 0$ 处 $[1, 1]$ 阶帕德近似为 $g (x) = \frac{a + b x}{1 + c x}$ ．

(1)、求实数a，b，c的值；

(2)、证明：当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq g (x)$ ；

(3)、设t为实数，讨论方程 $f (x) - \frac{t}{2} g (x) = 0$ 的解的个数．

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18、已知函数 $f (x) = - 4 a \ln x + x^{2} - 1$

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线的方程；

(2)、探究 $f (x)$ 的最小值；

(3)、当 $a > 0$ 时，求 $f (x)$ 的最小值的极值．

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19、已知 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，前三项的系数成等差数列．

(1)、求n的值；

(2)、求展开式中二项式系数最大的项；

(3)、求展开式中所有的有理项．

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20、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos 2 x - \frac{\sqrt{3}}{2}$

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和最大值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3}]$ 上的单调性．

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