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相关试卷

1、某班有45名学生，其中20人喜欢篮球，25人喜欢乒乓球，10人对这两项运动都不喜欢.则同时喜欢篮球和乒乓球的人数为（）

A、5 B、10 C、15 D、20

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2、复数 $z = \frac{2}{1 - i}$ 的共轭复数为（）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $2 - 2 i$ D、 $2 + 2 i$

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3、已知圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 与x正半轴交于点A，与直线 $y = \sqrt{3} x$ 在第一象限的交点为B．点 $C$ 为圆O上任一点，且满足 $\vec{O C} = x \vec{O A} + y \vec{O B}$ ，以x，y为坐标的动点 $D (x, y)$ 的轨迹记为曲线 $Γ$ ．

(1)、求曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、若两条直线 $l_{1}$ ： $y = k x$ 和 $l_{2}$ ： $y = - \frac{1}{k} x$ 分别交曲线 $Γ$ 于点E、F和M、N，求四边形 $E M F N$ 面积的最大值，并求此时的k的值；

(3)、研究曲线 $Γ$ 的对称性并证明 $Γ$ 为椭圆，并求椭圆 $Γ$ 的焦点坐标．

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4、已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{x} - 2$ ，直线 $l$ 是曲线 $y = f (x)$ 在点 $(a, f (a))$ $(a \in R)$ 处的切线.

(1)、当 $a = 0$ 时，求直线 $l$ 的方程；

(2)、求证：函数 $f (x)$ 有唯一零点；

(3)、记 $f (x)$ 的零点为 $x_{0}$ ，当直线 $l$ 与 $x$ 轴相交时，交点横坐标为 $x_{1}$ .若 $x_{1} \geq x_{0}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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5、直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额：
月份 $x$
1
2
3
4
5
带货金额 $y /$ 万元
350
440
580
700
880

(1)、计算变量 $x, y$ 的相关系数 $r$ （结果精确到0.01）.

(2)、求变量 $x, y$ 之间的线性回归方程，并据此预测2023年6月份该公司的直播带货金额.
参考数据： $\bar{y} = 590, \sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 10, \sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 176400$ ， $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 1320, \sqrt{441000} \approx 664$
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，线性回归方程的斜率 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ，截距 $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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6、现有n（ $n > 3$ ， $n \in N^{*}$ ）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（ $k = 1$ ， 2，3，…，n）个袋中有k个红球， $n - k$ 个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是 $\frac{4}{9}$ ，则 $n =$ .

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7、 ${(x + \frac{1}{x})}^{8}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为（用数字作答）.

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8、圆柱的轴截面为正方形，则下列结论正确的有（）

A、圆柱内切球的半径与图柱底面半径相等 B、圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为 $\frac{2}{3}$ C、圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为 $\frac{1}{3}$ D、圆柱内切球的体积与圆柱体积比为 $\frac{2}{3}$

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9、已知 $O$ 为坐标原点， $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点， $P$ 是双曲线 $C$ 上一点，若直线 $P F_{1}$ 和 $O P$ 的倾斜角分别为 $α$ 和 $2 α$ ，且 $tan α = \frac{3}{4}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、5 C、2 D、 $\frac{7}{5}$

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10、已知直线 $y - 4 = k (x + 3)$ 与圆 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 相交，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- \frac{12}{5}, 0)$ B、 $(0, \frac{12}{5})$ C、 $(- \infty, - \frac{12}{5}) \cup (0, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (\frac{12}{5}, + \infty)$

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11、设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (3, 4)$ ，若 $P (ξ < 2 a - 3) = P (ξ > a + 2)$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、3 D、5

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12、在音乐理论中，若音 $M$ 的频率为 $m$ ，音 $N$ 的频率为 $n$ ，则它们的音分差 $1200 \log_{2} \frac{m}{n}$ .当音 $A$ 与音 $B$ 的频率比为 $\frac{9}{8}$ 时，音分差为 $r$ ，当音 $C$ 与音 $D$ 的频率比为 $\frac{256}{243}$ 时，音分差为 $s$ ，则（）

A、 $2 r + 3 s = 600$ B、 $3 r + 2 s = 600$ C、 $5 r + 2 s = 1200$ D、 $2 r + 5 s = 1200$

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13、 $i$ 为虚数单位，则复数 $\frac{2 + 4 i}{1 - i} =$ （）

A、 $- 1 + 3 i$ B、 $3 + i$ C、 $3 - i$ D、 $2 + 4 i$

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14、已知{a_n}是首项为1，公差为3的等差数列，如果a_n＝2023，则序号n等于（）

A、667 B、668 C、669 D、675

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15、消费者信心指数是反映消费者信心强弱的指标．某市为了解消费者对于当前经济生活的评价以及对未来一段时期经济前景的预期，在全市范围内抽取 $2000$ 名城乡居民进行调查，并运用数学方法对调查数据进行量化处理，编制成消费者信心指数．该市 $2023 - 2025$ 年各季度消费者信心指数数据如下：

第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
2023年消费者信心指数
115.1
114.6
109.0
108.4
2024年消费者信心指数
108.4
105.9
95.5
94.7
2025年消费者信心指数
99.1
95.3
95.8
103.3
消费者信心指数越大，表明消费者信心越强．信心指数 $t \in [0, 100)$ 时，消费者信心处于弱信心区间，信心指数 $t \in [100, 200)$ 时，消费者信心处于强信心区间．假设每个季度消费者信心指数相互独立．用频率估计概率．

(1)、从上述 $12$ 个季度中随机抽取 $1$ 个季度，估计该季度消费者信心处于强信心区间的概率；

(2)、从2024年和2025年各随机抽取1个季度，记这2个季度中消费者信心处于强信心区间的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、2025年3月国家发布《提振消费专项行动方案》．记2025年第 $i$ 季度消费者信心指数较上一季度的增长率为 $x_{i} (i = 1, 2, 3, 4)$ ．据估计：2026年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约等于 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 中的最大值，写出2026年第一季度消费者信心指数的估计值．（结论不要求证明）

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16、已知抛物线 $C : x^{2} = 2 p y, (p > 0)$ 的焦点F到直线 $y = x - 1$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，不过原点的直线l与C交于A，B两点．

(1)、求C的标准方程；

(2)、若直线l的方程为 $y = 2 x - 1$ ，求 $|A B|$ ；

(3)、若OA垂直于OB，求证：直线l过定点．

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17、已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 a x - 2$

(1)、若 $f (x) > 0$ 在 $x \in [1, 4]$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > (a + 3) x + 3 a - 2$ .

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D / / B C, A B ⊥ B C, P A = A B = A D = 2, B C = 1, △ P B D$ 是等边三角形， $E, F$ 分别是棱 $B P, C D$ 的中点．

(1)、证明： $E F / /$ 面 $P A D$ ；

(2)、求直线 $E F$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值．

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19、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，点 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上位于第一象限内的两点，满足 $\vec{F_{1} A} = 2 \vec{F_{2} B}$ ，则椭圆C离心率的取值范围是．

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20、已知 $\frac{cos α}{2 cos α + sin α} = \frac{1}{4}$ ，则 $tan (α + \frac{π}{4}) =$ ．

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	第一季度	第二季度	第三季度	第四季度
2023年消费者信心指数	115.1	114.6	109.0	108.4
2024年消费者信心指数	108.4	105.9	95.5	94.7
2025年消费者信心指数	99.1	95.3	95.8	103.3

月份 $x$	1	2	3	4	5
带货金额 $y /$ 万元	350	440	580	700	880