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相关试卷

1、已知双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 1$ 的渐近线和圆 $M : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相切，则 $r =$ .

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2、如图，该几何体的表面由8个正三角形和6个正方形构成，已知该几何体的棱长均为2，则（）

A、平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C E$ B、平面 $A B E ⊥$ 平面 $B C D$ C、该几何体的体积为 $\frac{40 \sqrt{2}}{3}$ D、存在球 $O$ ，使得该几何体的顶点都在球 $O$ 的球面上

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3、已知函数 $f (x) = \sqrt{1 - x} - x^{3}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty, 1]$ B、 $f (x)$ 的值域为 $R$ C、 $\forall x \in (- \infty, 0)$ ， $f (x) > 1$ D、 $f (x)$ 恰有1个零点

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4、在下列区间中，函数 $f (x) = \frac{2}{\sin x}$ 单调递增的是（）

A、 $(0, \frac{π}{2})$ B、 $(\frac{π}{2}, π)$ C、 $(π, \frac{3π}{2})$ D、 $(\frac{3π}{2}, 2 π)$

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5、青铜太阳轮，出土于三星堆，距今已有3000多年历史，其状若车轮，现存于三星堆博物馆．如图，该青铜太阳轮圆周上有5个孔，可看成5个点，记为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ，五边形ABCDE为正五边形， $A B = 25$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A D} =$ （）

A、 $312.5$ B、 $625$ C、 $1250$ D、 $625 \cos 36 °$

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6、一种质量为 $1 kg$ 的物质，在化学分解中，经过时间 $t$ （单位： $min$ ）后，所剩的质量 $m$ （单位： $kg$ ）与时间t的函数关系为 $m = a^{k t}$ （ $a$ ， $k$ 均为参数， $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）.已知 $1 kg$ 的该物质，在化学分解中，经过 $t_{1} min$ 后，所剩的质量为 $0.5 kg$ ，再经过 $t_{2} min$ 后，所剩的质量为 $0.25 kg$ ，则（）

A、 $t_{1} = t_{2}$ B、 $t_{1} = 2 t_{2}$ C、 $t_{1} = 4 t_{2}$ D、 $t_{1} = \frac{1}{2} t_{2}$

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7、若 $\tan (α + β) = - 1$ ， $\tan (α - β) = 1$ ，则 $\tan β =$ （）

A、0 B、1 C、 $- 1$ D、1或 $- 1$

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8、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{6} = S_{3}$ ， $a_{1} = 1$ ，则 $a_{2} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、1 D、2

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9、复数 $z = \frac{6 - i}{1 + i}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10、已知集合 $A = \{x \in N |x < 3\}$ ， $B = {1, 2, 3, 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1, 2}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${1, 2, 3}$ D、 ${1, 2, 3, 4}$

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11、样本数据1，3，5，4，2的中位数是（）

A、1 B、2 C、3 D、5

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12、阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点 $P$ 到两个定点的距离之比为常数 $λ$ （ $λ > 0$ ，且 $λ \neq 1$ ），那么点 $P$ 的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点 $P$ 到 $A (2, 0)$ ， $B (- 2, 0)$ 的距离比为 $\sqrt{3}$ ，则点 $P$ 到圆 $C : x^{2} + y^{2} - 8 x - 12 y + 49 = 0$ 上的点的距离最大值是．

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13、已知函数 $f (x) = x ln x - x^{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、证明： $f (x) < e^{- x} - 1$ ；

(3)、若 $a > 0, b > 0$ ，且 $a b > 1$ ，求证： $f (a) + f (b) < - 2$

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14、如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $D D_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为菱形， $A B = 2 A_{1} B_{1}$ ，点 $E$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、求证： $D_{1} E / /$ 平面 $B_{1} C_{1} C B$ ；

(2)、若 $B B_{1} = C C_{1}$ ， $A D = 2 \sqrt{3}$ ，二面角 $E - D_{1} C - D$ 的大小为45°，求该四棱台的体积．

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15、已知数列 ${a_{n}}$ 前n项积为 $T_{n}$ ，且 $a_{n} + T_{n} = 1 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求证：数列 ${\frac{1}{1 - a_{n}}}$ 为等差数列；

(2)、设 $S_{n} = T_{1}^{2} + T_{2}^{2} + \cdot \cdot \cdot + T_{n}^{2}$ ，求证： $S_{n} > a_{n + 1} - \frac{1}{2}$ ．

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16、已知常数 $a > 0$ ，在 ${(\sqrt{x} - \frac{a}{x})}^{6}$ 的二项展开式中的常数项为15，设 ${(1 - 2 a x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{0} + a_{5} =$ ．

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17、已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，过点 $P (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且满足 $\vec{P A} + \vec{P B} = \vec{0}$ ，则直线 $A B$ 的斜率为．

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18、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = 6$ ， $P B = 8$ ， $P C = B C = 8 \sqrt{2}$ ， $∠ A P B = 60 °$ ， $∠ A P C = 45 °$ ，则此三棱锥的体积为．

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19、已知实数a，b满足 $a^{2} + 2 b^{2} = 4$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a b$ 的最大值为 $\frac{4}{3}$ B、 $a^{2} + 4 b$ 的最大值为6 C、 $b^{2} + 2 a b$ 的最大值为4 D、 $b^{2} - 2 a b$ 的最大值为4

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20、已知直线 $l : 4 x - 3 y - 2 = 0$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0$ 相交于A，B两点，则 $△ A B C$ 的周长为（）

A、26 B、18 C、14 D、13

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