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相关试卷

1、已知四面体 $A B C D$ ， $△ A B C$ 是边长为6的正三角形， $D A = D B = 2 \sqrt{3}$ ，二面角 $D - A B - C$ 的大小为 $\frac{2}{3} π$ ，则四面体 $A B C D$ 的外接球的表面积为（）

A、 $40 π$ B、 $52 π$ C、 $72 π$ D、 $84 π$

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + b_{n}$ ， $b_{n + 1} = a_{n} - b_{n}$ ，则 $a_{n} =$ （）

A、 $2^{n - 1}$ B、 $2^{\frac{n - 1}{2}}$ C、 $2^{\frac{n + 1}{2}}$ D、 $2^{\frac{2 n - 1 + {(- 1)}^{n}}{4}}$

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3、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $\sin x f (x) + \cos x f^{'} (x) > 0$ ，则（）

A、 $f (\frac{π}{3}) < \sqrt{3} f (\frac{π}{6})$ B、 $f (\frac{π}{6}) < \sqrt{3} f (\frac{π}{3})$ C、 $f (\frac{π}{3}) > \sqrt{3} f (\frac{π}{6})$ D、 $f (\frac{π}{6}) > \sqrt{3} f (\frac{π}{3})$

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4、冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3$ ）（）

A、3小时 B、4小时 C、5小时 D、6小时

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5、若 $0 < x < \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{1 - 2 x}$ 的最小值是（）

A、 $3 + 2 \sqrt{2}$ B、6 C、 $4 \sqrt{2}$ D、9

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6、已知复数 $z$ 满足 $z = - \bar{z} i$ （ $i$ 为虚数单位），且 $|z| = \sqrt{2}$ ，则 $z^{2} =$ （）

A、 $2 i$ B、 $- 2 i$ C、 $\sqrt{2} + \sqrt{2} i$ D、 $\sqrt{2} - \sqrt{2} i$

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7、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 2 x - 3 \leq 0\}$ ， $B = \{x |\frac{3}{x - 1} \leq 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[1, 3]$ B、 $(1, 3]$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $[- 1, 1)$

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8、实数 $a$ ， $b$ 满足 $a^{2} + 4 b^{2} = 2$ ，则（）

A、 $a b \leq \frac{1}{2}$ B、 $a + b$ 的最大值为 $2 \sqrt{3}$ C、 $a - b \in [- \frac{\sqrt{10}}{2}, \frac{\sqrt{10}}{2}]$ D、 $(a + 2 b) (a^{3} + 8 b^{3})$ 的最大值为 $\frac{9}{2}$

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9、记 $△ A B C$ 的内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，已知 $s i n C =$ $(\frac{b}{4} - c o s C) t a n A$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆的半径为 $\frac{5}{2}$ ，且 $A$ 为锐角，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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10、已知 $x > 1$ ， $y > 0$ ，且 $x + \frac{2}{y} = 2$ ，则 $\frac{1}{x - 1} + y$ 的最小值是．

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11、已知 $a > b > 0$ ， $a + b = 1 .$ 则下列结论正确的有（）

A、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ B、 $2^{2 a} + 2^{2 b + 1}$ 的最小值为 $4 \sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2 a + b} + \frac{4}{a + 2 b}$ 的最小值为3 D、 $a + s i n b < 1$

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12、记 $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且a ， b ， c成等比数列，以边 $A C$ 为直径的圆的面积为 $4 π$ ，若 $△ A B C$ 的面积不小于 $4 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、等腰非等边三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形

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13、已知函数 $f (x) = | 2 x + 1 | + 3 | x - 1 |$ ．

(1)、解不等式 $f (x) \leq 4$ ；

(2)、记（1）中不等式的解集为 $M,$ $M$ 中的最大整数值为 $t$ ，若正实数 $a, b$ 满足 $a + b = t$ ，求 $\frac{2}{a + 1} + \frac{8}{b + 2}$ 的最小值．

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14、已知函数 $f (x) = | x + 2 | + 2 | x - 3 |$

(1)、若不等式 $f (x) \geq m$ 恒成立，求实数m的取值范围；

(2)、在（1）的条件下，若 $a 、 b 、 c$ 为正实数，且三数之和为m的最大值，求证： $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \frac{25}{3}$

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15、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a + b + c = 2$ ，则 $\frac{4}{a + b} + \frac{1}{c}$ 的最小值为．

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16、若对任意 $x > 0$ ， $x^{3} + 5 x^{2} + 4 x \geq a x^{2}$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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17、已知正数 $a$ ， $b$ 满足 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2 \sqrt{2}$ ，若 ${(a - b)}^{2} \geq 4 {(a b)}^{3}$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ ．

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18、已知正数 $m, n$ 满足 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = 2^{\frac{3}{2}}$ ，则（）

A、 $m n \geq \frac{1}{2}$ B、 $m^{2} + n^{2} \geq 2$ C、 $m + n ≥ \frac{3}{2}$ D、 $\exists m, n \in (0, + \infty), (\frac{m - n}{2 m n})^{2} ≥ m n$

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19、若函数 $y = l o g_{a} (x - 2) + 1 (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$ 的图象所过定点恰好在椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1 (m > 0, n > 0)$ 上，则 $m + n$ 的最小值为（）

A、6 B、12 C、16 D、18

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20、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，抛物线上的点 $M (4, y_{0})$ 到 $F$ 的距离为6，双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点 $F_{1}$ 在抛物线的准线上，过点 $F_{1}$ 向双曲线的渐近线作垂线，垂足为 $H$ ，则 $H$ 与双曲线两个焦点构成的三角形面积的最大值为（）．

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、3

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