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相关试卷

1、直角梯形ABCD中， $B C = 2 A B = 2 A D = 4$ ， $A B ⊥ B C$ ， $E$ 为CD的中点，BE与AC交于点 $F$ .

(1)、用 $\vec{B C}, \vec{B A}$ 表示 $\vec{B E}$ ；

(2)、设 $\vec{B F} = λ \vec{B E}$ ，求实数 $λ$ 的值；

(3)、求 $∠ E F C$ .

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2、现行国家标准GB2762-2012中规定了10大类食品中重金属汞的污染限量值，其中肉食性鱼类及其制品中汞的最大残留量为1.0mg/kg，近日某水产市场进口了一批冰鲜鱼2000条，从中随机抽取了200条鱼作为样本，检测鱼体汞含量与其体重的比值（mg/kg），由测量结果制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、求a的值，并估计这200条鱼汞含量的样本平均数；

(2)、用样本估计总体的思想，估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标；

(3)、从这批鱼中顾客甲购买了2条，顾客乙购买了1条，甲乙互不影响，求恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率.

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3、如图，正方形ABCD是圆柱 $O O_{1}$ 的轴截面，EF是圆柱的母线，圆柱 $O O_{1}$ 的体积为 $16 π$ .

(1)、求圆柱 $O O_{1}$ 的表面积；

(2)、若 $∠ A B F = 30 °$ ，求点F到平面BDE的距离.

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4、（1）求方程 $2 x^{2} - 5 x + 10 = 0$ 的根，并判断它们是否共轭；
（2）若复数满足 $|z| = 2$ ，求 $|z - 3+4i|$ 的范围.

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5、圆 $O$ 是锐角 $△ A B C$ 的外接圆， $A C = 2 A B = 2$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的取值范围是．

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6、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $C_{1} D_{1}$ 与 $A_{1} B$ 所成角的大小为.

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7、复数3－5i，1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为．

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8、今年春节档两部电影票房突破20亿大关，《满江红》不负众望，凭借喜剧元素和家国情怀，以25.96亿票房成为档期内票房冠军，另一部科幻续作《流浪地球2》则成为最高口碑电影．下图是这两部电影连续7天的日票房情况，则（）

A、《满江红》日票房平均数大于《流浪地球 $2 》$ 日票房平均数 B、《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差 C、《满江红》日票房极差小于《流浪地球2》日票房极差 D、《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数

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9、已知向量 $\vec{a} = (- 4, 3)$ ， $\vec{b} = (7, 1)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ B、 $|\vec{a} - \vec{b}| = 125$ C、与向量 $\vec{a}$ 平行的单位向量是 $(- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ D、向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{2} \vec{b}$

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10、掷一枚骰子，记事件 $A$ 为掷出的数大于4 ，事件 $B$ 为掷出偶数点，则下列说法正确的是（）

A、 $P (A \cup B) = \frac{5}{6}$ B、 $P (A) = \frac{1}{3}$ C、事件 $A$ 与事件 $B$ 为相互独立事件 D、事件 $A$ 与事件 $B$ 对立

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11、已知三棱锥 $D - A B C$ 的顶点都在球 $O$ 的球面上，底面 $△ A B C$ 是边长为3的等边三角形．若三棱锥 $D - A B C$ 的体积的最大值为 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $16 π$ B、 $12 π$ C、 $8 π$ D、 $4 π$

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12、从2023年6月开始，浙江省高考数学使用新高考全国数学I卷，与之前浙江高考数学卷相比最大的变化是出现了多选题.多选题规定：在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对且没有选错的得2分.若某题多选题正确答案是BCD，某同学不会做该题的情况下打算随机选1个到3个选项作为答案，每种答案都等可能（例如，选A，AB，ABC是等可能的），则该题得2分的概率是（）

A、 $\frac{5}{14}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{4}{7}$

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13、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $∠ A = 60 °$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，若 $b + c = 6$ ，则 $a =$ （）

A、 $2 \sqrt{6}$ B、5 C、 $\sqrt{30}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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14、已知一组数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的平均数为 $\bar{x}$ ，标准差为 $s$ ，则数据 $3 x_{1} - 1, 3 x_{2} - 1, \dots, 3 x_{n} - 1$ 的平均数和方差分别为（）

A、 $3 \bar{x} - 1, 3 s - 1$ B、 $3 \bar{x}, 3 s$ C、 $3 \bar{x} - 1, 9 s^{2}$ D、 $3 \bar{x} - 1, 9 s^{2} - 1$

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15、已知 $△ A B C$ 的斜二测画法的直观图为 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，若 $A^{'} B^{'} = 4, B^{'} C^{'} = 3, ∠ A^{'} B^{'} C^{'} = 60 °$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\frac{3 \sqrt{6}}{4}$ C、 $6 \sqrt{6}$ D、 $12 \sqrt{6}$

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16、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，已知向量 $\vec{u} = (a, b, c)$ ，点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ．若直线 $l$ 以 $\vec{u}$ 为方向向量且经过点 $P_{0}$ ，则直线 $l$ 的标准式方程可表示为 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c} (a b c \neq 0)$ ；若平面 $α$ 以 $\vec{u}$ 为法向量且经过点 $P_{0}$ ，则平面 $α$ 的点法式方程可表示为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，一般式方程可表示为 $a x + b y + c z + d = 0$ ．

(1)、若平面 $α_{1} : x + 2 y - 1 = 0$ ，平面 $β_{1} : 2 y - z + 1 = 0$ ，直线 $l$ 为平面 $α_{1}$ 和平面 $β_{1}$ 的交线，求直线 $l$ 的单位方向向量（写出一个即可）；

(2)、若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为 $α_{2} 、 β_{2} 、 γ$ ，其中平面 $α_{2}$ 经过点 $(4, 0, 0), (3, 1, - 1)$ ， $(- 1, 5, 2)$ ，平面 $β_{2} : y + z = 4$ ，平面 $γ : m x + (m + 1) y + (m + 2) z + 3 = 0$ ，求实数m的值；

(3)、若集合 $M = \{(x, y, z) | |x| + |y| \leq 4, |y| + |z| \leq 4, |z| + |x| \leq 4\}$ ，记集合 $M$ 中所有点构成的几何体为 $S$ ，求几何体 $S$ 的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小．

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17、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 为等边三角形， $∠ B_{1} B C = \frac{π}{4}$ ，平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $C B B_{1} C_{1}$ ．

(1)、求证： $A C ⊥ B B_{1}$ ；

(2)、若 $B B_{1} = \sqrt{2} A B = 2$ ，点E是线段 $A B$ 的中点，
（i）求平面 $E C C_{1}$ 与平面 $A C C_{1}$ 夹角的余弦值；
（ii）在平面 $A B B_{1} A_{1}$ 中是否存在点P，使得 $| P B | + |P B_{1}| = 4$ 且 $\frac{| P C |}{|P C_{1}|} = \sqrt{5}$ ．若存在，请求出点P的位置；若不存在，请说明理由．

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18、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 所有的棱长均为2，点 $D$ 在棱 $A_{1} B_{1}$ 上，且满足 $\vec{A_{1} D} = \frac{2}{3} \vec{A_{1} B_{1}}$ ，点 $E$ 是棱 $B B_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $E C //$ 平面 $A C_{1} D$ ；

(2)、求直线 $A E$ 与平面 $A C_{1} D$ 所成角的正弦值．

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19、埃舍尔是荷兰著名的版画家，《哈利波特》《盗梦空间》《迷宫》等影片的灵感都来源于埃舍尔的作品．通过著名的《瀑布》（图1）作品，可以感受到形状渐变、几何体组合和光学幻觉方面的魅力．画面中的两座高塔上方各有一个几何体，右塔上的几何体首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2），其可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造．如图4， $A_{n}, B_{n}, C_{n}, D_{n} (n = 1, 2, 3)$ 分别为埃舍尔多面体的顶点， $P_{n}, Q_{n} (n = 1, 2, 3)$ 分别为正方形边上的中点，埃舍尔多面体的可视部分是由12个四棱锥构成．为了便于理解，图5中构造了其中两个四棱锥 $A_{1} - P_{1} E_{1} P_{2} E_{2}$ 与 $A_{2} - P_{2} E_{1} P_{3} F_{1}, E_{n}, F_{n} (n = 1, 2)$ 分别为线段的中点．左塔上方是著名的“三立方体合体”（图3），取棱长为2的正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的中心O，以O为原点， $x, y, z$ 轴均平行于正方体棱，建立如图6所示的空间直角坐标系，将正方体分别绕 $x, y, z$ 轴旋转 $45 °$ ，将旋转后的三个正方体 $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n} - A_{n^{'}} B_{n^{'}} C_{n^{'}} D_{n^{'}}, n = 1, 2, 3$ （图7，8，9）结合在一起便可得到“三立方体合体”（图10），下列有关“埃舍尔多面体”和“三立方体合体”的说法中，正确的是（）

A、在图5中， $A_{1} P_{3} ⊥ E_{2} P_{2}$ B、在图5中，直线 $Q_{1} A_{2}$ 与平面 $A_{1} E_{2} P_{2}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、在图10中，设点 $A_{n^{'}}$ 的坐标为 $(x_{n}, y_{n}, z_{n}), n = 1, 2, 3$ ，则 $\sum_{n = 1}^{3} (x_{n}^{2} + y_{n}^{2} + z_{n}^{2}) = 9$ D、在图10中，若E为线段 $B_{2} C_{2}$ 上的动点（包含端点），则异面直线 $D_{2} E$ 与 $A_{2} A_{3}$ 所成角余弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，焦距为 $2 \sqrt{5}, P$ 为椭圆C上一点，则下列选项中正确的是（）

A、椭圆C的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $△ F_{1} P F_{2}$ 的周长为3 C、 $∠ F_{1} P F_{2}$ 不可能是直角 D、当 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ 时， $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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