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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中， $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{A B} \cdot \vec{A C} = \sqrt{3}$ ， $\sin B = 2 \cos A \cdot \sin C$ ， $△ A B C$ 的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围是.

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2、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 15 = 3 |\vec{b}|$ ，则向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为.

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3、在 $△ A B C$ 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 $3 b cos C + 3 c cos B = a^{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $B + C = 2 A$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的面积为 $3 π$ B、若 $A = \frac{π}{4}$ ，且 $△ A B C$ 有两解，则b的取值范围为 $[3, 3 \sqrt{2}]$ C、若 $C = 2 A$ ，且 $△ A B C$ 为锐角三角形，则c的取值范围为 $(3 \sqrt{2}, 3 \sqrt{3})$ D、若 $A = 2 C$ ，且 $sin B = 2 sin C$ ， O为 $△ A B C$ 的内心，则 $△ A O B$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3} - 3}{4}$

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4、如图，点 $P$ 是棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上一个动点， $F$ 是线段 $A_{1} B_{1}$ 的中点，则（）

A、存在点 $P$ 使得 $A P ⊥ A_{1} C$ B、若点 $P$ 满足 $A P ⊥ B F$ ，则动点 $P$ 的轨迹长度为 $2 \sqrt{5}$ C、若点 $P$ 满足 $P F / /$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ 时，动点 $P$ 的轨迹是正六边形 D、当点 $P$ 在侧面 $B_{1} B C C_{1}$ 上运动，且满足 $F P = \sqrt{2}$ 时，二面角 $A - C D - P$ 的最大值为60°

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5、设 $m, n$ 是不同的直线， $α, β, γ$ 是不同的平面，则下列说法不正确的是（）

A、若 $m // n$ ， $m / / α$ ，则 $n // α$ B、若 $m / / α$ ， $m / / β$ ，则 $α // β$ C、若 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$ ， $a / / b$ ，则 $α // β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $α ⊥ γ$ ，则 $β // γ$

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6、如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = B D = D C = 2$ ， $∠ A = 45 °$ .现将 $△ B C D$ 沿 $B D$ 起，使二面角 $C - B D - A$ 大小为120°，则折起后得到的三棱锥 $C - A B D$ 外接球的表面积为（）

A、 $10 π$ B、 $15 π$ C、 $20 π$ D、 $20 \sqrt{3} π$

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7、如图， $△ A B C$ 的斜二测直观图为等腰直角三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ ，其中 $A^{'} B^{'} =$ $2 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $6 \sqrt{2}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、6 D、 $12 \sqrt{2}$

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8、某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（ $50 \leq x < 60$ ， $60 \leq x < 70$ ， $70 \leq x < 80$ ， $80 \leq x < 90$ ， $90 \leq x \leq 100$ ），其中第4组，第1组，第2组的频数依次成等比数列，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：

(1)、求a，b的值；

(2)、若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？

(3)、某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数： $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， …， $x_{10}$ ，已知这10个分数的平均数 $x = 90$ ，标准差 $s = 6$ ，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差.

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9、国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识.为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组 $[15, 25)$ ，第2组 $[25, 35)$ ，第3组 $[35, 45)$ ，第4组 $[45, 55)$ ，第5组 $[55, 65]$ ，得到的频率分布直方图如图所示.现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人.

(1)、再从第二组和第五组中抽取的人中任选3人进行问卷调查，求从 $[25 ， 35 ）$ 中至少抽到2人进行问卷调查的概率；

(2)、若第2组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为30和6，第3组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为40和6，据此估计这次参与调查的人中第2组和第3组所有人的年龄的方差.

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10、一个袋子中有3个红球，4个白球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球．

(1)、求两次取到的球颜色相同的概率．

(2)、如果是3个红球，n个白球，已知第二次取到红球的概率为 $\frac{3}{8}$ ，求n的值．

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11、冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、 $3 x + 1$ 想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1如给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则至少有1个数的运算次数为奇数的概率为.

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12、已知一组数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， …， $x_{n}$ 的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s^{2}$ .若 $3 x_{1} + 1$ ， $3 x_{2} + 1$ ， $3 x_{3} + 1$ ， …， $3 x_{n} + 1$ 的平均数比方差大4，则 $s^{2} - {\bar{x}}^{2}$ 的最大值为．

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13、某班语文老师对该班甲､乙､丙､丁4名同学连续7周每周阅读的天数（每周阅读天数可以是 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ ）进行统计，根据统计所得数据对这4名同学这7周每周的阅读天数分别做了如下描述：
甲：中位数为3，众数为5；
乙：中位数为4，极差为3；
丙：中位数为4，平均数为3；
丁：平均数为3，方差为3.
那么可以判断一周阅读天数一定没有出现7天的是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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14、已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B=“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（）

A、事件A与事件B的样本点数分别为12，8 B、事件A，B间的关系为 $A \subseteq B$ C、事件 $A \cup B$ 发生的概率为 $\frac{11}{20}$ D、事件 $A \cap B$ 发生的概率为 $\frac{2}{5}$

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15、有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数.为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（）

A、第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线 $y = x + 4$ 上甲获胜，所确定的点在直线 $y = - x + 8$ 上乙获胜 B、取出的两个数乘积不大于15甲获胜，否则乙获胜 C、取出的两个数乘积不小于20时甲得5分，否则乙得3分，游戏结束后，累计得分高的人获胜 D、取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜

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16、某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图， $90$ 后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论错误的是（）
注： $90$ 后指 $1990$ 年及以后出生， $80$ 后指 $1980 - 1989$ 年之间出生， $80$ 前指 $1979$ 年及以前出生.

A、互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上 B、互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 $20 %$ C、互联网行业中从事运营岗位的人数 $90$ 后一定比 $80$ 前多 D、互联网行业中从事技术岗位的人数 $90$ 后一定比 $80$ 后多

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17、少年强则国强，少年智则国智．党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质．为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（）

A、样本的众数为65 B、样本的第80百分位数为72.5 C、样本的平均值为67.5 D、该校学生中低于 $65 kg$ 的学生大约为1000人

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18、某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A表示随机事件“两次都投中”，事件B表示随机事件“两次都未投中”，事件C表示随机事件“恰有一次投中”，事件D表示随机事件“至少有一次投中”，则下列关系不正确的是（）

A、 $A \subseteq D$ B、 $B \cap D = \emptyset$ C、 $A \cup B = B \cup D$ D、 $A \cup C = D$

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19、下列命题中是真命题的是（）

A、一组数据 $2$ ， $1$ ， $4$ ， $3$ ， $5$ ， $3$ 的平均数、众数、中位数相同； B、有 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三种个体按 $3 ： 1 ： 2$ 的比例分层抽样调查，如果抽取的 $A$ 个体数为 $9$ ，则样本容量为 $30$ ； C、若甲组数据的方差为 $5$ ，乙组数据为 $5$ ， $6$ ， $9$ ， $10$ ， $5$ ，则这两组数据中较稳定的是甲； D、一组数 $1$ ， $2$ ， $2$ ， $2$ ， $3$ ， $3$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ ， $6$ 的 $80 %$ 分位数为 $4$ ．

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20、在① $2 a - b = 2 c \cos B$ ， ② $\sqrt{3} c \cdot \cos A + a \sin C = \sqrt{3} b$ 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解（1）、（2）的答案.
问题：在 $△ A B C$ 中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 .

(1)、求角C；

(2)、若点D满足 $2 \vec{A D} = \vec{D B}$ ，且 $C D = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最大值.
（注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.）

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