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相关试卷

1、在数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $(n + 2) a_{n + 1} = n a_{n}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前2024项和 $S_{2024} =$ ．

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2、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，则下列结论正确的是（）

A、 $Q$ 在底面 $A B C D$ 内（包括边界）运动，若 $D_{1} Q$ //平面 $A_{1} B C_{1}$ ，则 $Q$ 的轨迹长度为 $\sqrt{2}$ B、 $Q$ 在底面 $A B C D$ 内（包括边界）运动，若直线 $D_{1} Q$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $45^{°}$ ，则 $Q$ 的轨迹长度为 $\frac{π}{3}$ C、以 $A$ 为球心， $\frac{\sqrt{21}}{3}$ 为半径作球，则球面与正方体的表面的交线长为 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ D、以 $D$ 为球心， $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 为半径作球，则球面与正方体的表面的交线长为 $\frac{5 \sqrt{3}}{6} π$

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3、在一个口袋中装有大小和质地均相同的5个白球和3个黄球，第一次从中随机摸出一个球，观察其颜色后放回，同时在袋中加入两个与所取球完全相同的球，第二次再从中随机摸出一个球，则此次摸出的是黄球的概率为（）

A、 $\frac{3}{16}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4、已知 ${(2 x + 1)}^{9} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{9} x^{9}$ ，则 $\frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{4}}{2^{4}} + \frac{a_{6}}{2^{6}} + \frac{a_{8}}{2^{8}}$ 的值为（）

A、255 B、256 C、511 D、512

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5、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，若 $(λ \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + μ \vec{b})$ ，则（）

A、 $λ + μ = 0$ B、 $λ + μ = - 1$ C、 $λ μ = - 1$ D、 $λ μ = 0$

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6、利普希兹条件是数学中一个关于函数光滑性的重要概念，设 $f (x)$ 定义在 $[a, b]$ 上的函数，若对于 $[a, b]$ 中任意两点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq k |x_{1} - x_{2}| (k > 0)$ ，则称 $f (x)$ 是“ $k$ -利普希兹条件函数”.

(1)、判断函数 $y = x + 1$ ， $y = x^{2}$ 在 $R$ 上是否为“1-利普希兹条件函数”；

(2)、若函数 $y = x + \frac{2}{x} (1 \leq x \leq 2)$ 是“ $k$ -利普希兹条件函数”，求 $k$ 的最小值；

(3)、设 $f (x) = sin x$ ，若存在 $t \in R$ ，使 $g (x) = t x + n (t > 1)$ 是“2024-利普希兹条件函数”，且关于 $x$ 的方程 $f (2 x) = g (f (x)) + g (f (x + \frac{π}{2}))$ 在 $x \in (- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上有两个不相等实根，求 $n$ 的取值范围.

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7、如图，三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，四边形 $A C C_{1} A_{1}$ 是等腰梯形，且 $A_{1} C_{1} = A A_{1} = 1$ ， $D$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $A C ⊥ B D$ ；

(2)、若过 $B, B_{1}, D$ 三点的平面截三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 所得的截面面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{16}$ .当二面角 $A_{1} -$ $A C - B$ 为锐二面角时，求二面角 $B_{1} - B C - A$ 的正弦值.

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8、2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，衢州文旅也在各大平台发布了衢州的宣传片：孔子，金庸，搁袋饼纷纷出场.现为进一步发展衢州文旅，提升衢州经济，在5月份对来衢旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中 $b = 4 a$ .

(1)、求图中 $a$ 的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、若有超过 $60 %$ 的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格.衢州市5月份文旅成绩合格了吗？

(3)、衢州文旅6月份继续对来衢旅游的游客发起满意度调查.现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月8日-6月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70.由这些数据计算6月1日—6月14日的总样本的平均数与方差.

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9、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = 2$ ， $M$ 是线段 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $P B //$ 平面 $A M C$ ；

(2)、求三棱锥 $P - A C M$ 的体积；

(3)、求直线 $B M$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正切值.

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10、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin 2 x + cos 2 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和对称中心；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域.

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11、已知定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x + 1) - 1$ 为奇函数，且函数 $f (x)$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上单调递增，则 $f (3 x - 1) + f (2 - x) < 2$ 的解集为.

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12、已知 $x > - \frac{1}{2} ， y > - 4$ ，且 $2 x + y = 1$ ，则 $\frac{1}{2 x + 1} + \frac{9}{y + 4}$ 的最小值为.

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13、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, x)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ .

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14、如图所示，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是等腰直角三角形， $A B = B C = A A_{1} = 1$ ，点 $D$ 为侧棱 $B B_{1}$ 上的动点， $M$ 为线段 $A_{1} B_{1}$ 中点.则下列说法正确的是（）

A、存在点 $D$ ，使得 $A D ⊥$ 平面 $B C M$ B、 $△ A D C_{1}$ 周长的最小值为 $1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}$ C、三棱锥 $C_{1} - A B C$ 的外接球的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{2} π$ D、平面 $A D C_{1}$ 与平面 $A B C$ 的夹角正弦值的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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15、一学生在求解以下问题“已知函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称，关于 $(3, 6)$ 中心对称，且 $f (2) = 4$ ，求 $S = f (1) + f (2) + \dots + f (10)$ 的值”时，思路如下：令 $f (x) = A \sin (ω x + φ) + b$ （ $A > 0$ ， $0 < φ < π$ ），由对称轴和对称中心可求得 $T = 4$ ，再由对称轴求 $φ$ ，对称中心求 $b$ ，根据以上信息可得（）

A、 $φ = \frac{π}{2}$ B、 $b = 6$ C、 $S = 60$ D、 $S = 58$

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $c = 2$ 且 $(a + c) (\sin A - \sin C) = b (\sin A - \sin B)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $C = \frac{π}{3}$ B、 $a$ 的取值范围为 $(0, 2]$ C、 $a b$ 的最大值为4 D、若 $D$ 为 $A B$ 的中点，则 $C D$ 的取值范围为 $(1, 2)$

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17、美国数学家Jack Kiefer于1953年提出0.618优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择.我国著名数学家华罗庚于20世纪60、70年代对其进行简化、补充，并在我国进行推广，广泛应用于各个领域.黄金分割比 $t = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ ，现给出三倍角公式 $cos 3 α = 4 {cos}^{3} α - 3 cos α$ ，则 $t$ 与 $sin 18^{\circ}$ 的关系式正确的为（）

A、 $2 t = 3 sin 18^{\circ}$ B、 $t = 2 sin 18^{\circ}$ C、 $t = \sqrt{5} sin 18^{\circ}$ D、 $t = \sqrt{6} sin 18^{\circ}$

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18、已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足：当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 2^{x}$ ，且 $f (x + 1) \leq a f (2 - x)$ 对一切 $x \in R$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{8}]$ B、 $[\frac{1}{8}, + \infty)$ C、 $(0, 8]$ D、 $[8, + \infty)$

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19、如图， $A C$ 是圆 $O$ 的直径， $∠ D C A = 45^{\circ} ， D A$ 垂直于圆 $O$ 所在的平面， $B$ 为圆周上不与点 $A, C$ 重合的点， $A M ⊥ D C$ 于 $M$ ， $A N ⊥ D B$ 于 $N$ ，则下列结论不正确的是（）

A、平面 $A B C ⊥$ 平面 $D A C$ B、 $C B ⊥$ 平面 $B A D$ C、 $C D ⊥$ 平面 $A M N$ D、平面 $A M N ⊥$ 平面 $D A B$

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20、已知向量 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $45 ^{°}$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{a}$ B、 $\sqrt{2} \vec{a}$ C、 $\sqrt{2} \vec{b}$ D、 $\vec{b}$

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