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相关试卷

1、方程 $2 x + ln x - 5 = 0$ 的解所在区间为（）

A、 $(4, 5)$ B、 $(3, 4)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(1, 2)$

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2、设复数 $z$ 满足 $z - i = 1 + i$ ，则 $\frac{z}{i} =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $- i$ D、 $i$

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3、已知函数 $f (x) = a ln x - x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) \leq {(\frac{a}{e})}^{a} - 1$ .

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4、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D为棱AB的中点， $B C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 交于点E，若 $A B = A A_{1}$ ，则CD与 $A_{1} E$ 所成角的余弦值为．

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5、若A，B，C是平面内不共线的三点，且同时满足以下两个条件：① $|\vec{A B}| = |\vec{A C}|$ ；②存在异于点A的点G使得： $\vec{A G}$ 与 $\vec{A B} + \vec{A C}$ 同向且 $\frac{\vec{A G} \cdot \vec{A B}}{|\vec{A B}|} = \frac{\sqrt{3}}{2} |\vec{A G}|$ ，则称点A，B，C为可交换点组．已知点A，B，C是可交换点组．

(1)、求∠BAC；

(2)、若 $A (- 1, 0)$ ， $B (2, \sqrt{3})$ ， $C (x, y) (y > 0)$ ，求C的坐标；

(3)、记a，b，c中的最小值为 $\min \{a, b, c\}$ ，若 $|\vec{A B}| = 2 \sqrt{3}$ ， $\vec{A G} = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A C})$ ，点P满足 $|\vec{P G}| = 1$ ，求 $\min \{\vec{P A} \cdot \vec{P B}, \vec{P B} \cdot \vec{P C}, \vec{P C} \cdot \vec{P A}\}$ 的取值范围．

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D // B C, A D ⊥ D C,$ $B C = C D = \frac{1}{2} A D = 2$ ， $E$ 为棱 $A D$ 的中点， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、证明： $A B //$ 平面 $P C E$

(2)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B D$

(3)、若二面角 $P - C D - A$ 的大小为 $45 °$ ，求直线 $A D$ 与平面 $P B D$ 所成角的正切值.

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7、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $sin C + \sqrt{3} cos C = a$ ， $b = \sqrt{3}$ .

(1)、若 $a + c = 2$ ，求边 $A C$ 上的角平分线 $B D$ 长；

(2)、求边 $A C$ 上的中线 $B E$ 的取值范围.

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8、2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 $[45, 55)$ ，第二组 $[55, 65)$ ，第三组 $[65, 75)$ ，第四组 $[75, 85)$ ，第五组 $[85, 95]$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．

(1)、估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；

(2)、现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．

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9、已知函数 $f (x) = \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，当 $x \in [\frac{π}{2}, π]$ 时，求函数 $g (x)$ 的取值范围．

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10、A，B，C，D为球面上四点，M，N分别是AB，CD的中点，以MN为直径的球称为AB，CD的“伴随球”，若三棱锥A—BCD的四个顶点在表面积为64π的球面上，它的两条边AB，CD的长度分别为 $2 \sqrt{7}$ 和 $4 \sqrt{3}$ ，则AB，CD的伴随球的体积的取值范围是

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11、已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为4和8，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为 $\frac{π}{2}$ ，则该圆台的体积为.

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12、某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生人．

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13、函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 最小正周期为 $T = π$ B、 $φ = \frac{π}{6}$ C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{5π}{12}, - \frac{π}{6}]$ 上单调递减 D、方程 $f (x) = \frac{1}{2}$ 在区间 $[0, 2 π]$ 内有 $4$ 个根

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14、对于两个平面 $α$ ， $β$ 和两条直线m，n，下列命题中假命题是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n / / α$ B、若 $m // α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m / / β$ C、若 $m // α$ ， $n // β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$

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15、重庆市酉阳山正阳楼现已竣工，它的建筑风格独特，融合了传统与现代的元素，现已成为新的网红打卡地．黔江中学高一21班某同学周末参加户外实践活动，为了测量楼高 $A E$ ，在 $B$ 处测得楼顶 $A$ 仰角为 $37^{\circ}$ ，向右前行25米到达点 $D$ ，此时测得楼顶 $A$ 的仰角为 $74^{\circ}$ ，梯步DF长为2.7米，坡度（即坡面的垂直高度 $h$ 和水平宽度 $l$ 的比）为 $1 : \sqrt{3}$ ，则楼高为 $(\sin 37^{\circ} \approx 0.6)$ （）

A、24米 B、23.5米 C、23.65米 D、22.65米

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16、某地为了鼓励村民在家乡创业，进行了一系列改革，一年以后当地村民的经济收入增加了一倍，已知改革前后当地村民经济收入构成比例如图所示，则下列说法正确的是（）

A、改革后，其他收入减少 B、改革后，外出打工收入是改革前的 $\frac{1}{3}$ C、改革后，养殖收入增加了一倍 D、改革后，种植有机蔬菜收入所占比例增幅最大

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17、已知 $α \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ，且 $12 \sin^{2} α - 5 \cos α = 9$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{7}{9}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{8}$

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18、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，直线 $A_{1} B$ 与 $A D_{1}$ 所成角的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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19、复数 $z = \frac{1}{2 + i}$ （ $i$ 为虚数单位）在复平面内对应的点位于

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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20、某班级有60名同学参加了某次考试，从中随机抽选出5名同学，他们的数学成绩 $x$ 与物理成绩 $y$ 如下表：
数学成绩 $x$
140
130
120
110
100
物理成绩 $y$
110
90
100
80
70
数据表明 $y$ 与 $x$ 之间有较强的线性相关性.

(1)、利用表中数据，求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并预测该班某同学的数学成绩为90分时的物理成绩；

(2)、在本次考试中，规定数学成绩达到125分为数学优秀，物理成绩达到100分为物理优秀. 若该班的数学优秀率与物理优秀率分别为 $50 %$ 和 $60 %$ ，且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有6人，请你完成下面的 $2 \times 2$ 列联表，依据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？
数学成绩
物理成绩
合计
物理优秀
物理不优秀
数学优秀

数学不优秀

合计

参考公式及数据： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 54900$ ， $\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 1000$ ，
$χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
下表是 $χ^{2}$ 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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数学成绩	物理成绩		合计
数学成绩	物理优秀	物理不优秀	合计
数学优秀
数学不优秀
合计

数学成绩 $x$	140	130	120	110	100
物理成绩 $y$	110	90	100	80	70

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828