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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x |\log_{2} x > 1\}$ ， $B = \{x |0 < x < 4\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $\{x |2 < x < 4\}$ B、 $\{x |2 \leq x < 4\}$ C、 $\{x |0 < x \leq 2\}$ D、 $\{x |x \leq 2\}$

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2、在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型 $P - A B C D$ ，点E在棱PB上，满足 $\frac{P E}{P B} = \frac{2}{3}$ ，点F在棱PC上，满足 $\frac{P F}{P C} = \frac{1}{2}$ $，$ 要求同学们按照以下方案进行切割：

(1)、试在棱PC上确定一点G，使得 $E F / /$ 平面 $A B G$ ，并说明理由；

(2)、过点A，E，F的平面α交PD于点H，沿平面α平将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定H 点的位置；
①请求出 $\frac{P H}{P D}$ 的值；
②若正四棱锥模型 $P - A B C D$ 的棱长均为6，求直线 $P A$ 与平面α所成角的正弦值.

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3、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 在同一平面上，且 $\vec{a} = (- 2, 1)$ ．

(1)、若 $\vec{a} // \vec{c}$ ，且 $|\vec{c}| = 25$ ，求向量 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{b} = (3, 2)$ ，且 $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 垂直，求k的值．

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4、故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱 $A B F - C D E$ 和 $B D G - A C H$ 是两个完全相同的直三棱柱，侧棱 $E F$ 与 $G H$ 互相垂直平分， $E F, G H$ 交于点I， $A F = B F = a$ ， $A F ⊥ B F$ ，则点 $G$ 到平面 $A C E F$ 的距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} a$ B、 $\frac{1}{2} a$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2} a$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4} a$

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5、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，一个质点从原点出发，每秒向 $x$ 轴正､负方向､ $y$ 轴正､负方向或 $z$ 轴正､负方向移动一个单位，且向六个方向移动的概率均相等.如在第1秒末，质点会等可能地出现在 $(1, 0, 0), (- 1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, - 1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, - 1)$ 六点处.

(1)、求该质点在第4秒末移动到点 $(2, 2, 0)$ 的概率；

(2)、设该质点在第2秒末移动到点 $(x, y, z)$ ，记随机变量 $ξ = x + y + z$ ，求 $ζ$ 的均值；

(3)、设该质点在第 $n$ 秒末回到原点的概率为 $p_{n}$ ，证明： $p_{2 n} > {(\frac{C_{2 n}^{n}}{6^{n}})}^{2}$ .

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6、对于函数 $y = f (x)$ ，记 $f_{1} (x) = f (x), f_{2} (x) = f (f (x)), \dots, f_{k} (x) = f_{k - 1} (f (x))$ .已知定义在 $N$ 上的函数 $f (x)$ 满足，当 $x = 4 m + i (m \in N, i = 0, 1, 2, 3)$ 时， $f (x) = \frac{x - i}{4} + i \times 4^{n - 1}$ ，其中 $n$ 是给定的正整数，记集合 $A_{n} = \{x \in N ∣ f_{n} (x) = x\}$ .

(1)、当 $n = 2$ 时，求 $f_{1} (1), f_{1} (2), f_{2} (1), f_{2} (2)$ ；

(2)、证明：当 $x \geq 4^{n}$ 时， $f (x) < x$ ；

(3)、求 $A_{1}, A_{2}$ .

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7、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $C D / / A B$ ， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $A B = 4, P A = P D = C D = B C = 2$ .

(1)、若点 $M$ 为棱 $A B$ 的中点，求二面角 $A - P D - M$ 的余弦值；

(2)、若 $\vec{D N} = λ \vec{D P} (λ > 0)$ ，设直线 $B N$ 与平面 $A B C D$ ，平面 $P A D$ 所成的角分别为 $α, β$ ，求 $sin α + sin β$ 的最大值.

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8、为加快推动旅游业复苏，进一步增强市民旅游消费意愿，某景区推出针对中､高考生的优惠活动：凭中､高考准考证可优惠购票，并可以八折购买“金榜题名”文创雪糕.该景区从中､高考生游客中随机抽取200人了解他们对这项活动的满意度，统计得到 $2 \times 2$ 列联表如下：

不满意
满意
合计
高考生
60
40
100
中考生
35
65
100
合计
95
105
200

(1)、判断能否有 $99.9 %$ 的把握认为满意度与考生类型有关？

(2)、现从高考生的样本中用分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步的访谈，求这3人中不满意的人数 $X$ 的概率分布及数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$P (x^{2} \geq k)$
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k$
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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9、已知 ${(x + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式的各项系数和为256.

(1)、求展开式中的常数项；

(2)、设 $m \in N$ ，证明： $\frac{m}{(m + 1)!} = \frac{1}{m!} - \frac{1}{(m + 1)!}$ ；

(3)、求证： $\sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{A_{k + 1}^{k}} < 1$ .

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10、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{x^{2} - a x} + a x - 1$ ，若对任意 $x \in (- \infty, - 1], f (x) \leq 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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11、已知 $f (x) = {(1 + 2 x)}^{9} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + \dots + a_{9} {(x + 1)}^{9}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{9} =$ ， $f (20)$ 被6除所得的余数是.

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12、已知随机变量 $X \sim N (2, σ^{2})$ ，若 $P (X \geq 0) = 0.7, P (2 \leq X \leq m) = 0.2$ ，则 $m =$ .

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13、如图，在边长为12的正方形 $A B C D$ 中， $E_{1}, E_{2}, F_{1}, F_{2}$ 分别边 $A D, B C$ 的三等分点，正方形内有两点 $P, Q$ ，点 $P$ 到 $A D, C D$ 的距离分别为 $3 a, 2 a$ ，点 $Q$ 到 $B C, A B$ 的距离也是 $3 a$ 和 $2 a$ ，其中 $0 < a < 2$ .将该正方形沿 $E_{1} F_{1}, E_{2} F_{2}$ 折起，使 $A B$ 与 $D C$ 重合，则在该空间图形中，（）

A、直线 $P Q$ $/ /$ 平面 $E_{1} E_{2} F_{2} F_{1}$ B、 $P Q$ 的最小值为 $\frac{6 \sqrt{10}}{5}$ C、线段 $P Q$ 的中点到 $A$ 的距离不超过 $3 \sqrt{5}$ D、异面直线 $P Q$ 与 $A B$ 成 $45 °$ 角时， $a = \frac{3}{2}$

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14、已知函数 $f (x) = \frac{x}{|x| - 1}$ ，则（）

A、 $f (\frac{3}{2}) = f (- \frac{3}{4})$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 上单调递增 D、集合 $\{x |f (x) = \frac{a}{x}, a > 4\}$ 的元素个数为4

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15、已知 $a, b$ 为实数，则“ $a > b > 0$ ”的必要条件可以为（）

A、 $a^{3} > b^{3}$ B、 $ln (a + 1) > ln (b + 1)$ C、 $\frac{1}{a^{2}} > \frac{1}{b^{2}}$ D、 $a^{2} - 2 a > b^{2} - 2 b$

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16、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，且 $f (x) - f (2 - x) = 0, f (x) + f (2 + x) = 0, f (- 1) = 1$ ，则 $\sum_{k = 1}^{1012} [{(- 1)}^{k} C_{2024}^{2 k - 1} f (2 k - 1) + {(- 1)}^{k + 1} C_{2024}^{2 k} f (2 k)] =$ （）

A、 $2^{2024}$ B、 $2^{2023}$ C、 $2^{1012}$ D、0

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17、在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F, G$ 分别为棱 $A B, A D, B B_{1}$ 的中点，点 $P$ 在棱 $C_{1} D_{1}$ 上，且 $C_{1} P = 3 P D_{1}$ ，则点 $G$ 到平面 $P E F$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{82}}{82}$ B、 $\frac{\sqrt{82}}{41}$ C、 $\frac{2 \sqrt{41}}{41}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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18、若直线 $a x + b y - 4 = 0 (a > 0, b > 0)$ 经过曲线 $y = \frac{x^{2}}{x^{2} - 2 x + 2}$ 的对称中心，则 $a b$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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19、从数字 $1, 2, 3, 4$ 中随机取一个数字，记为 $n$ ，再从数字 $1, 2, \dots, n$ 中随机取一个数字，则第二次取到的数字为2的概率是（）

A、 $\frac{7}{48}$ B、 $\frac{13}{48}$ C、 $\frac{5}{16}$ D、 $\frac{17}{48}$

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + \frac{3 a - 2}{x}, x \geq 1, \\ (a + 2) x - 4, x < 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{2}{3}, 1]$ B、 $[- \frac{1}{2}, 1]$ C、 $(- 2, 1]$ D、 $(- 2, - \frac{1}{2}]$

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	不满意	满意	合计
高考生	60	40	100
中考生	35	65	100
合计	95	105	200

$P (x^{2} \geq k)$	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k$	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828