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相关试卷

1、如图，平行六面体各棱长为1，且 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ B A D = 60 °$ ，动点P在该几何体内部，且满足 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + (1 - x - y) \vec{A A_{1}} (x, y \in R)$ ，则 $| \vec{A P} |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2、已知 $\vec{a} = (2, 2, 1) ， \vec{b} = (1, 1, 0)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为（）

A、 $(1, 1, 0)$ B、 $(1, 2, 0)$ C、 $(2, 2, 0)$ D、 $(1, 1, 1)$

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3、l为直线， $α$ 为平面，则下列条件能作为 $l ∥ α$ 的充要条件的是（）

A、l平行平面 $α$ 内的无数条直线 B、l平行于平面 $α$ 的法向量 C、l垂直于平面 $α$ 的法向量 D、l与平面 $α$ 没有公共点

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4、若 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ 是空间中的一组基底，则下列可与向量 $\vec{a} + \vec{c}, \vec{a} - 2 \vec{c}$ 构成基底的向量是（）

A、 $\vec{a}$ B、 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ C、 $\vec{a} + 2 \vec{c}$ D、 $\vec{c}$

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5、已知 $A (- 2, 0), B (2, 0), P (x, y)$ ，且 $||P A| - |P B|| = 2$ ，点P的轨迹为C．

(1)、求C的方程；

(2)、直线l： $y = k x$ 与C相交于M，N两点，第一象限上点T在轨迹C上．
（ⅰ）若 $△ T M N$ 是等边三角形，求实数k的值；
（ⅱ）若 $|T M| = |T N|$ ，求 $△ T M N$ 面积的取值范围．

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6、已知 $f (x) = x - \ln x + m (\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{1}{2}, f (\frac{1}{2}))$ 处的切线方程；

(2)、当 $m > 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间．

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7、如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面是边长为2的菱形且 $∠ B A D = 60 °$ ，点 $A_{1}$ 在底面 $A B C D$ 上的射影为边 $A D$ 的中点 $E$ ，点 $F, G$ 分别为边 $B C, D D_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $F G / /$ 平面 $B_{1} B E$ ；

(2)、若 $A A_{1} = A B$ ，求直线 $B_{1} C$ 与平面 $B_{1} B E$ 所成角．

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8、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1}, a_{2}, 16$ 成等比数列， $a_{3} = 3 a_{1} + a_{2}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，记数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{50}$ 的值．

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9、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M位于第一象限，直线MF与椭圆C交于另外一点A，且 $\vec{M F} = \frac{1}{2} \vec{F A}$ ，若 $∠ A F N = \frac{π}{3}$ ， $|F A| = \frac{2}{3} |F N|$ ，则椭圆C的离心率为．

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10、将4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子非空，则不同的放法有种．

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11、若二项式 ${(2 x + \frac{a}{x})}^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数是160，则实数 $a =$ ．

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12、（多选）已知 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域为R ，若 $f (1 - x) + g (x) = 3$ ， $g (- 2) = 2$ ，且 $f (x + 2)$ 为奇函数， $g (x + 1)$ 为偶函数，则（　　）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $g (x)$ 为奇函数 C、 $f (- 1) = - 1$ D、 $g (x)$ 关于 $x = 1$ 对称

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13、（多选）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在ts时相对于平衡位置的高度h（单位： $c m$ ）由关系式 $h = 2 \sin （ ω t + φ ）， t \in [0, + \infty ）$ 确定，其中 $ω ＞ 0 ， φ \in （ 0, π] ．$ 小球从最高点出发，经过 $1.8 s$ 后，第一次到达最低点，则（　　）

A、 $ϕ = \frac{π}{4}$ B、 $ω = \frac{5 π}{9}$ C、 $t = 2.7 s$ 时，小球运动速度最快 D、 $t = 20 s$ 时，小球向下运动

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14、有一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}$ 的平均数为2024，则（　　）

A、 $2024, x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ 的平均数等于 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ 的平均数 B、 $2024, x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ 的中位数等于 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ 的中位数 C、 $2024, x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ 的标准差不小于 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ 的标准差 D、 $2024, x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ 的极差等于 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ 的极差

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15、在△ABC中，BC＝2， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ， D为BC中点，在△ABC所在平面内有一动点P满足 $\vec{P B} \cdot \vec{P D} = \vec{P C} \cdot \vec{P D}$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{B C}$ 的最大值为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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16、某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量．在综合实践活动中，某小组自制了一个圆台形雨量收集器（大口向上无盖，不考虑厚度）如图，两底面直径 $A B = 25 cm ， C D = 10 cm ，$ 高为 $15 cm$ ．在一次降雨过程中，利用该雨量器收集的雨水高度是 $10 cm$ ，则该雨量器收集的雨水体积（ ${cm}^{3}$ ）为（　　）

A、 $250 π$ B、 $\frac{1750 π}{3}$ C、 $\frac{3125 π}{2}$ D、 $\frac{7000 π}{3}$

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17、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $(x_{1} - x_{2}) (f (x_{1}) - f (x_{2})) < 0$ 对任意的 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 都成立，设 $a = f (\log_{2} 3), b = f (\log_{5} 4), c = f (\sqrt{2})$ ，则（　　）

A、 $b > a > c$ B、 $c > a > b$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

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18、若α为锐角，且 $\sin (α - \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ，则cos2α＝（　　）

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $\frac{24}{25}$ C、 $- \frac{7}{25}$ D、 $\frac{7}{25}$

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19、已知m，n，l是三条互不重合的直线， $α, β$ 是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（　　）

A、若 $m ⊥ l, n ⊥ l,$ 则 $m // n$ B、若 $m // n, n \subset α,$ 则 $m // α$ C、若 $m ⊥ α, n \subset α,$ 则 $m ⊥ n$ D、若 $α ⊥ β, m \subset α,$ 则 $m ⊥ β$

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20、已知 $z = \frac{2 + i}{1 + 2 i}$ ，则|z|²＝（　　）

A、 $\frac{1}{5}$ B、1 C、2 D、5

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