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相关试卷

1、抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点到准线的距离为（）

A、4 B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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2、已知集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ ， $A = \{1, 3, 5, 6\}$ ， $B = \{1, 4, 8\}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （　　）

A、 $\{1, 2, 4, 7, 8\}$ B、 $\{4, 8\}$ C、 $\{3, 4, 5, 6, 8\}$ D、 $\{1\}$

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3、悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时.处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也应该是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为 $cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，相应的双曲正弦函数的表达式为 $sinh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

(1)、求 ${cosh}^{2} (x) - {sinh}^{2} (x)$ 的值；

(2)、若直线 $y = t$ 与函数 $y = cosh (x)$ 和 $y = sinh (x)$ 的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} + x_{3} > ln (1 + \sqrt{2})$ ；

(3)、函数 $f (x) = |cosh (2 x) - a sinh (x) - b|, a, b \in R$ ，若 $f (x) \leq 4$ 对任意的 $x \in [ln (\sqrt{2} - 1), ln (\sqrt{2} + 1)]$ 恒成立，求 $|a| + |b|$ 的最大值.

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4、如图，在五面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为矩形， $△ F B C$ 为等腰直角三角形，且 $F C ⊥ F B$ .面 $B C F ⊥$ 面 $A B C D, E F // A B, A B = 4 E F = 4, B C = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求证： $B E ⊥ C F$ ：

(2)、在线段 $A B$ 上是否存在点 $T$ ，使得 $D T$ 与平面 $A C F$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ？若存在，请求出 $B T$ 的长度；若不存在，请说明理由.

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $A C$ 的中点， $E$ 在边 $A B$ 上，且 $\vec{A E} = 2 \vec{E B}, B D$ 与 $C E$ 交于点 $F$ .

(1)、用 $\vec{B A}, \vec{B C}$ 表示 $\vec{E C}, \vec{B F}$ ；

(2)、若 $24 \vec{B F} \cdot \vec{E F} = \vec{B A} \cdot \vec{B C}$ ，求 $\frac{A B}{B C}$ 的值.

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6、镇海中学采购了一批电子白板电容笔，这一批电容笔使用三年后即被淘汰.电容笔头属于消耗品，现在需要决策在购买电容笔时笔头的数量，为此搜集并整理了10支笔在一年内消耗的笔头数（单位：个），发现均落在 $[15, 75]$ 范围内，将统计结果按如下方式分成六组，第一组 $［ 15, 25 ）$ ，第二组 $［ 25, 35 ）$ ， ……第六组 $[65, 75]$ ，画出频率分布直方图如图所示.

(1)、求 $x$ 的值；

(2)、估计10支笔一年内消耗笔头数量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第30百分位数

(3)、在搜集这10支笔的使用情况数据时，发现其中3支是高一班级在使用，另外7支是高二班级在使用，现已知高二班级消耗的笔头数的平均值和方差分别为50和221，所有班级消耗的笔头数的方差为200，试估计高一班级消耗的笔头数的平均值和方差.

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7、已知函数 $f (x) = - \sqrt{3} cos (2 x + \frac{π}{2}) + 2 {sin}^{2} x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和最大值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的单调区间.

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8、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $a^{2} = b^{2} + b c$ ，则 $\frac{c}{b} + \frac{2}{{cos}^{2} B}$ 的最小值为.

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9、如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 2, A D = 1$ ，点 $E$ 在线段 $A B$ （端点除外）上，现将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起为 $△ A^{'} D E$ ，设 $∠ A E D = α$ ，二面角 $A^{'} - D E - C$ 的大小为 $β$ .若 $α = β$ ，则三棱锥 $A^{'} - B D E$ 体积的最大值为.

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10、已知 $z (2 + i) = 1 - 3 i$ ，则 $|z| =$ .

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11、一个同学投掷10次骰子，记录出现的点数，根据统计结果，在下列情况中可能出现点数6的有（）

A、平均数为3，中位数为4 B、中位数为4，众数为3 C、平均数为2，方差为2.1 D、中位数为3，方差为0.85

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12、已知定义域为 $R$ 的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (2 + x) = 0$ ，若对任意 $x_{1}, x_{2} \in [0, 1]$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ ，下列结论一定正确的是（）

A、 $f (1) = 0$ B、2是 $f (x)$ 的一个周期 C、函数 $f (x)$ 在 $(2, 3)$ 上单调递减 D、函数 $f (x)$ 图象关于直线 $x = 2$ 对称

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13、已知正实数 $a, b$ 满足 $a^{2} - a b + b^{2} = 1$ ，则（）

A、 $a + b$ 的最大值为2 B、 $a b$ 的最小值为1 C、 $a^{2} + b^{2}$ 的最大值为2 D、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为1

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14、已知 $f (x) = |{log}_{a} x|, a > 1$ ，记集合 $A = \{x \in R ∣ f (x) \leq 1\}, B = \{x \in R ∣ f (f (x) + b) \leq 1\}$ ，若 $A = B$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{\sqrt{3} + 1}{2}, + \infty)$ B、 $[\frac{3}{2}, + \infty)$ C、 $[\frac{\sqrt{5} + 1}{2}, + \infty)$ D、 $[\frac{\sqrt{6} + 1}{2}, + \infty)$

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15、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，以 $D_{1}$ 为球心， $\sqrt{21}$ 为半径的球面与正方体表面的交线记为曲线 $E$ ，则曲线 $E$ 的长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ B、 $\sqrt{3} π$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} π$ D、 $2 \sqrt{3} π$

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16、一个袋子中有 $n$ 个大小质地完全相同的球，其中3个为红球，其余均为绿球，采用不放回方式从中依次随机地摸出2个球.已知摸出的2个球都是红球的概率为 $\frac{1}{7}$ ，则两次摸到的球颜色不相同的概率为（）

A、 $\frac{3}{14}$ B、 $\frac{2}{7}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{4}{7}$

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17、已知 $l_{1}, l_{2}$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $l_{1} // α$ 且 $α // β$ ，则 $l_{1} // β$ B、若 $α ⊥ β, l_{1} \subset α, l_{2} \subset β$ ，则 $l_{1} ⊥ l_{2}$ C、若 $l_{1} ⊥ α$ 且 $α // β$ ，则 $l_{1} ⊥ β$ D、若 $l_{1}$ 不垂直于 $α$ ，且 $l_{2} \subset α$ ，则 $l_{1}$ 必不垂直于 $l_{2}$

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18、已知三个平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $\vec{a} + 2 \vec{b} + 3 \vec{c} = \vec{0}$ ，则“向量 $\vec{a}, b, \vec{c}$ 均是单位向量”是“向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 方向相同”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、已知 $m > n > 0$ ，下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{m}{n} < \frac{m + 2}{n + 2}$ B、 $m + \frac{1}{n} > \frac{1}{m} + n$ C、 $m - \frac{1}{n} > n - \frac{1}{m}$ D、 $\frac{2 m + n}{m + 2 n} > \frac{m}{n}$

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20、求值： $\frac{\sqrt{3}}{2} cos 30 ° + sin 15 ° sin 75 ° =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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