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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + (a + 6) x + 1$ 有极大值和极小值，则a的取值范围是（）

A、 $- 1 < a < 2$ B、 $a < - 3$ 或 $a > 6$ C、 $- 3 < a < 6$ D、 $a < - 1$ 或 $a > 2$

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2、已知函数 $f (x) = \ln x + a x$

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、设 $g (x) - f (x) = 2 x^{2}$ ，求函数 $g (x)$ 在 $(1, e)$ 上的零点个数.

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3、中华茶文化源远流长，博大精深，制作复杂.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为 $\frac{2}{3} ， p ， \frac{4}{5} ，$ 每道工序的加工都相互独立，且茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为 $\frac{29}{30} .$ 三道工序加工都合格的绿茶为特级绿茶，恰有两道工序加工合格的绿茶为一级绿茶，恰有一道工序加工合格的绿茶为二级绿茶，其余的为不合格绿茶.

(1)、在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，求杀青加工合格的概率；

(2)、每盒绿茶(净重100g)原材料及制作成本为30元，其中特级绿茶、一级绿茶、二级绿茶的出厂价分别为90元，60元，40元，而不合格绿茶则不进入市场.记经过三道工序制成的一盒绿茶的利润为X元，求随机变量X的分布列及数学期望.

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4、将氢储存在甲基环乙烷和甲苯等有机液体中是储氢和运输氢的重要方向.2023年12月俄罗斯科学院西伯利亚分院科研人员用镍和锡取代铂，研发出一种新型高效的脱氢催化剂，脱氢效率达99.9%，且对储氢载体没有破坏作用，可重复使用.近年来，我国氢能源汽车产业迅速发展，下表是某市氢能源乘用车的年销售量与年份的统计表：
年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份编号x
1
2
3
4
5
销量y (万台)
2
3.5
2.5
8
9

(1)、求y关于x的经验回归方程，并预测2024年氢能源乘用车的销量；

(2)、为了研究不同性别的学生对氢能源的了解情况，某校组织了一次有关氢能源的知识竞赛活动，随机抽取了男生和女生各60名，得到如表所示的数据：

了解
不了解
合计
男生

25

女生
20

合计

（i）根据已知条件，填写上述2×2列联表；
（ii）依据α=0.01的独立性检验，能否认为该校学生对氢能源的了解情况与性别有关?参考公式：
1. 回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + â$ 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1} = {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$
2. $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ， n = a + b + c + d .$
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828

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5、如图，在四棱锥P—ABCD中， PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形， AD∥BC， AD⊥AB， AB=BC=1，PA=AD=2， AD=3AE， Q为PD的中点.

(1)、求证：平面PCD⊥平面ABQ；

(2)、求二面角A-BQ-E的正弦值.

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $2 S_{n} - n^{2} = (2 n + 1) a_{n} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = - a_{n} \cdot 3^{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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7、如图所示，设点F是双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 与抛物线 $C_{2} : y^{2} = 4 p x (p > 0)$ 的公共焦点，B是 $C_{2}$ 上的一点，若双曲线一条渐近线 $y = \frac{b}{a} x$ 恰好垂直平分BF，双曲线 $C_{1}$ 的离心率为e，则 $2 e^{2} - 1 =_{.}$

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8、已知某批产品的质量指标 $X$ 服从正态分布 $N (25, 0.16)$ ，其中 $X \in [24.6, 26.2]$ 的产品为合格产品，则在 $1000$ 件该产品中合格产品件数约为.
参考数据：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) = 0.9973$

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9、若 $C_{16}^{n} = C_{16}^{3 n - 8} ，$ 则n=.

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10、某种子站培育出A、B两类种子，为了研究种子的发芽率，分别抽取 100粒种子进行试种，得到如下饼状图与柱状图：
用频率估计概率，且每一粒种子是否发芽均互不影响，则（）

A、若规定种子发芽时间越短，越适合种植，则从5天内的发芽率来看，B类种子更适合种植 B、若种下12粒A类种子，则有10粒种子5天内发芽的概率最大 C、从样本A、B两类种子中各随机取一粒，则这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率是0.145 D、若种下10粒B类种子， 5至8天发芽的种子数记为X，则 $D (X) = 2$

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11、定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足 $2 f (x) + x f^{'} (x) = \frac{1}{x^{2}} ， f (1) = 0$ (若 $f^{'} (x) = \frac{1}{x} ，$ 则f(x)=lnx+c， c为常数)，则下列说法正确的是（）

A、f(x)在. $x = \sqrt{e}$ 处取得极大值，极大值为 $\frac{1}{2 e}$ B、f(x)恰有两个零点 C、若 $f (x) < k - \frac{1}{x^{2}}$ 在(0，+∞)上恒成立，则 $k > \frac{e}{2}$ D、 $f (1) < f (\sqrt{2}) < f (\sqrt{3})$

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12、对于 ${(2 x - \frac{1}{x^{2}})}^{n}$ 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则下列说法正确的是（）

A、 $n = 9$ B、展开式的各项系数之和为1 C、展开式的二项式系数之和为512 D、展开式中的含 $x^{2}$ 项系数是1792

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13、已知函数 $f (x) = \frac{a}{x} + \ln x - \frac{2}{3} ， g (x) = - \frac{2}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - x ，$ 若对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [\frac{1}{3}, 2]$ ，都有 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ 成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $(e^{- \frac{1}{2}}, + \infty)$ B、 $[e^{- \frac{1}{2}}, + \infty)$ C、 $(- \infty {,e}^{- \frac{1}{2}}]$ D、 $(e, + \infty)$

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14、甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（）

A、96种 B、132种 C、168种 D、204种

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15、2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则女生人数的期望为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{5}$

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16、5G 技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：
时间x
1
2
3
4
5
销售量y (千只)
0.5
0.8
1.0
1.2
1.5
若x与y线性相关，且线性回归方程为 $\hat{y} = 0.24 x + \hat{a}$ ，则下列说法正确的是（）

A、由题中数据可知，变量y与x正相关，且相关系数 $r \leq 1$ B、当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加 $0.24 + \hat{a}$ 个单位 C、线性回归方程 $\hat{y} = 0.24 x + \hat{a}$ 中 $\hat{a} = 0.26$ D、可以预测 $x = 6$ 时，该商场5G手机销量约为1.72 (千只)

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17、 ${(\frac{1}{x} - \sqrt{x})}^{8}$ 的展开式中含 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 项的系数为（）

A、-56 B、-28 C、28 D、56

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18、若圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x + a y - 8 = 0$ 的公共弦长为 $2 \sqrt{2}$ ，则 $a =$ （）

A、 $\pm 2$ B、 $\pm 4$ C、2 D、4

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19、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{2} = 5, a_{6} + a_{8} = 30$ ，则 $2 S_{8} =$ （）

A、80 B、100 C、120 D、160

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20、红旗淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金 $x$ （万元）与年收益 $y$ （万元）的8组数据：
$x$
10
20
30
40
50
60
70
80
$y$
12.8
16.5
19
20.9
21.5
21.9
23
25.4

(1)、用 $y = b ln x + a$ 模拟生产食品淀粉年收益 $y$ 与年投入资金 $x$ 的关系，求出回归方程；

(2)、为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入的 $10 %$ .2024年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值．（精确到0.1万元）
附：①回归直线 $\hat{u} = \hat{b} v + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} v_{i} u_{i} - n \bar{v} \cdot \bar{u}}{\sum_{i = 1}^{n} v_{i}^{2} - n {\bar{v}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{u} - \hat{b} \cdot \bar{v}$
②
$\sum_{i = 1}^{8} y_{i}$
$\sum_{i = 1}^{8} ln x_{i}$
$\sum_{i = 1}^{8} x_{i}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{8} {(ln x_{i})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{8} y_{i} ln x_{i}$
161
29
20400
109
603
③ $ln 2 \approx 0.7, ln 5 \approx 1.6$

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年份	2018	2019	2020	2021	2022
年份编号x	1	2	3	4	5
销量y (万台)	2	3.5	2.5	8	9

$\sum_{i = 1}^{8} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{8} ln x_{i}$	$\sum_{i = 1}^{8} x_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{8} {(ln x_{i})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{8} y_{i} ln x_{i}$
161	29	20400	109	603

	了解	不了解	合计
男生		25
女生	20
合计

α	0.050	0.010	0.001
xα	3.841	6.635	10.828

时间x	1	2	3	4	5
销售量y (千只)	0.5	0.8	1.0	1.2	1.5

$x$	10	20	30	40	50	60	70	80
$y$	12.8	16.5	19	20.9	21.5	21.9	23	25.4