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相关试卷

1、已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A＝ $\frac{π}{3}$ ， b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于(　　)

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{8}$

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2、甲、乙两人进行射击比赛，分别对同一目标各射击10次，其成绩（环数）如下：
甲的环数
7
7
10
6
10
8
7
9
7
9
乙的环数
7
8
8
9
8
7
7
9
8
9
下列说法正确的是（）

A、甲的平均数大于乙的平均数 B、甲的中位数等于乙的中位数 C、甲、乙的众数都是7 D、乙的成绩更稳定

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3、已知一组数据：125，121，123，125，127，129，125，128，130，129，126，124，125，127，126.则这组数据的第25百分位数和第80百分位数分别是（）

A、125　128 B、124　128 C、125　129 D、125　128.5

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4、已知 $z = - 2 + 2 i$ ，则 $z (\bar{z} + 2) =$ （）

A、 $4 + 4 i$ B、 $4 - 4 i$ C、4 D、 $- 4 i$

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5、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} - 3 a^{2} x$ ， $a \in R$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 1$ 时，以 $A_{0} (0, f (0))$ 为切点，作直线 $l_{1}$ 交 $f (x)$ 的图像于异于 $A_{0}$ 的点 $A_{1} (x_{1}, f (x_{1}))$ ，再以 $A_{1}$ 为切点，作直线 $l_{2}$ 交 $f (x)$ 的图像于异于 $A_{1}$ 的点 $A_{2} (x_{2}, f (x_{2}))$ ， …，依此类推，以 $A_{n} (x_{n}, f (x_{n}))$ 为切点，作直线 $l_{n + 1}$ 交 $f (x)$ 的图像于异于 $A_{n}$ 的点 $A_{n + 1} (x_{n + 1}, f (x_{n + 1}))$ ，其中 $n \in N_{+}$ ．求 $\{x_{n}\}$ 的通项公式．

(3)、在（2）的条件下，证明： $(1 + \frac{1}{|x_{1} + 1|}) (1 + \frac{1}{|x_{2} + 1|}) (1 + \frac{1}{|x_{3} + 1|}) \dots (1 + \frac{1}{|x_{n} + 1|}) < e$

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6、为迎接2024新春佳节，某地4S店特推出盲盒抽奖营销活动中，店家将从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖，已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示.

红色外观
蓝色外观
棕色内饰
20
10
米色内饰
15
5

(1)、从这50个模型中随机取1个，用 $A$ 表示事件“取出的模型外观为红色”，用 $B$ 表示事件“取出的模型内饰为米色”，求 $P (B)$ 和 $P (B |A)$ ，并判断事件 $A$ 与 $B$ 是否相互独立；

(2)、活动规定：在一次抽奖中，每人可以一次性拿2个盲盒.对其中的模型给出以下假设：假设1：拿到的2个模型会出现3种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色.假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高.假设3：该抽奖活动的奖金额为一等奖3000元、二等奖2000元、三等奖1000元.请你分析奖项对应的结果，设 $X$ 为奖金额，写出 $X$ 的分布列并求出 $X$ 的期望（精确到元）.

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7、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} = 1$ ，且 $S_{n} = \frac{(n + 1) a_{n}}{2}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{a_{n} + a_{n + 1}}{a_{n}^{2} \cdot a_{n + 1}^{2}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}, \forall n \in N^{*}, T_{n} < m$ 恒成立，求实数 $m$ 的最小值．

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8、我国南宋数学家杨辉 $1261$ 年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，下图是由 “杨辉三角”拓展而成的三角数阵，记第一条斜线之和为 $a_{1}$ ，第二条斜线之和为 $a_{2}$ ，第三条斜线之和为 $a_{3}$ ，以此类推，组成数列 $\{a_{n}\}$ .例如 $a_{1} = 1, a_{2} = 1, a_{3} = 1 + 1, \dots,$ 若 $a_{k} = 1 + \sum_{n = 1}^{2024} a_{2 n}$ ，则 $k =$ .

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9、在 ${(\sqrt[3]{x} - \frac{2}{x})}^{n}$ 的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之和为．

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10、已知函数 $f (x) = (x^{2} - 3) e^{x}$ ，则 $f (x)$ 的极小值点为.

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11、在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，3，第1次“和扩充”后得到数列1，4，3；第2次“和扩充”后得到数列1，5，4，7，3；依次扩充，记第 $n (n \in N^{*})$ 次“和扩充”后所得数列的项数记为 $P_{n}$ ，所有项的和记为 $a_{n}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $P_{n} = 2^{n + 1} - 1$ B、满足 $P_{n} \geq 2024$ 的 $n$ 的最小值为11 C、 $a_{n} = 3^{n + 1} - 1$ D、 $S_{n} = 3^{n + 1} + 2 n - 3$

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12、设 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $S_{n}$ 是其前n项的和.且 $S_{5} < S_{6}$ ， $S_{6} = S_{7} > S_{8}$ ，则下面结论正确的是（）

A、 $d \leq 0$ B、 $a_{7} = 0$ C、 $S_{6}$ 与 $S_{7}$ 均为 $S_{n}$ 的最大值 D、满足 $S_{n} < 0$ 的n的最小值为14

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13、若实数 $x, y, z$ 满足 $y^{2} = x z, z = \ln (x + y) - x - y$ ，则下列不等式错误的是（）

A、 $\ln (x + y) < x + y$ B、 $x > 0$ C、 $y > 0$ D、 $z < x < y$

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14、如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点 $(0, 0)$ 出发，每隔 $1 s$ 等可能地向上或向右移动一个单位，则质点移动6次后位于 $(2, 4)$ 的概率为（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{15}$ C、 $\frac{15}{32}$ D、 $\frac{15}{64}$

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15、某校在高一开展了选课走班的活动，已知该校提供了3门选修课供学生选择，现有5名同学参加选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则5名同学选课的种数为（）

A、150 B、180 C、240 D、540

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16、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $- \frac{1}{2}$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .若 $S_{2 m} = 31$ ， $S_{m} = 32$ ，则 $m =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、7

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17、 ${(\sqrt{5} x - y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2} y^{3}$ 的系数为（）

A、50 B、100 C、 $- 50$ D、 $- 100$

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18、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{5} = 9$ ，则 $S_{10}$ 的值为（）

A、70 B、80 C、90 D、100

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19、“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.如图1，三个内角都小于 $120^{\circ}$ 的 $△ A B C$ 内部有一点 $P$ ，连接 $P A, P B, P C$ ，求 $P A + P B + P C$ 的最小值.我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段和的最小值.某数学研究小组先后尝试了翻折､旋转､平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的做法如图2，将 $△ A P C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $60^{\circ}$ ，得到 $△ E D C$ ，连接 $P D, B E$ ，则 $B E$ 的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等分费马点 $P$ 的周角.同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量 $\vec{A B} = (x, y)$ ，把 $\vec{A B}$ 绕其起点沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到向量 $\vec{A Q} = (x cos θ - y sin θ, x sin θ + y cos θ)$ .

(1)、已知平面内点 $A (1, 2), B (1 + \sqrt{2}, 2 - 2 \sqrt{2})$ ，把点 $B$ 绕点 $A$ 沿顺时针方向旋转 $\frac{π}{4}$ 后得到点 $P$ ，求点 $P$ 的坐标；

(2)、在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 30^{\circ}, B C = 12, A C = 5$ ，借助研究成果，直接写出 $P A + P B + P C$ 的最小值；

(3)、已知点 $A (- 1, 0), B (1, 0), C (0, 2)$ ，求 $△ A B C$ 的费马点 $P$ 的坐标.

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20、在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2, A D = \sqrt{2}, A = 45^{\circ}, E, F$ 分别为 $A B, A D$ 的中点，将三角形 $A D E$ 沿 $D E$ 翻折，使得二面角 $A - E D - C$ 为直二面角后，得到四棱锥 $A - E B C D$ .

(1)、求证： $E F$ $∥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求证：平面 $A E D ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(3)、求 $E C$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值.

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甲的环数	7	7	10	6	10	8	7	9	7	9
乙的环数	7	8	8	9	8	7	7	9	8	9

	红色外观	蓝色外观
棕色内饰	20	10
米色内饰	15	5