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相关试卷

1、已知 $\vec{m} = (2, - 3), \vec{n} = (2, 1)$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $(\vec{m} - 2 \vec{n}) ⊥ \vec{n}$ B、 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 可以作为一组基底向量 C、 $\cos 〈 \vec{m}, \vec{n} 〉 = \frac{\sqrt{65}}{65}$ D、 $\vec{m}$ 在 $\vec{n}$ 方向上的投影向量的坐标为 $(\frac{2}{3} . \frac{1}{3})$

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2、已知复数 $z$ 是 $\frac{2 - i}{2 + i}$ 的共轭复数，则（）

A、 $\bar{z} = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ B、 $|z| = 1$ C、 $z^{2} = - \frac{7}{25} - \frac{24}{25} i$ D、 $z = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$

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3、已知 $sin α + cos α = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ， $α \in (0, \frac{π}{4})$ ， $s i n (β - \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ， $β \in (\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ ，则 $c o s (α + 2 β)$ 的值为（）

A、 $- \frac{11 \sqrt{5}}{25}$ B、 $- \frac{11}{25}$ C、 $\frac{11}{25}$ D、 $\frac{11 \sqrt{5}}{25}$

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4、已知 $α$ 为钝角， $β$ 为锐角，且 $sin α = \frac{4}{5}$ ， $sin β = \frac{12}{13}$ ，则 $c o s \frac{α - β}{2}$ 的值为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{65}}{65}$ B、 $- \frac{7 \sqrt{65}}{65}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{15}$ D、 $- \frac{4 \sqrt{3}}{15}$

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5、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，且 $\overset{⃑}{A E} = 2 \overset{⃑}{E O}$ ，则 $\overset{⃑}{E D} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \overset{⃑}{A D} - \frac{2}{3} \overset{⃑}{A B}$ B、 $\frac{2}{3} \overset{⃑}{A D} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{A B}$ C、 $\frac{2}{3} \overset{⃑}{A D} - \frac{1}{3} \overset{⃑}{A B}$ D、 $\frac{1}{3} \overset{⃑}{A D} + \frac{2}{3} \overset{⃑}{A B}$

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6、月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景” 之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是 $△ A B C$ 的外接圆和以 $A B$ 为直径的圆的一部分，若 $∠ A C B = \frac{2 π}{3}$ ，南北距离 $A B$ 的长大约 $60 \sqrt{3}$ m，则该月牙泉的面积约为（）（参考数据： $π \approx 3.14 ， \sqrt{3} \approx 1.73$ ）

A、572m² B、1448m² C、 $1828$ m² D、2028m²

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7、已知 $β$ 是第三象限角，且 $sin β = - \frac{1}{3}$ ，则 $tan β =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 3)$ ， $\vec{b} = (2, 4)$ ，则 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 的坐标为（）

A、 $(6, 8)$ B、 $(- 4, 2)$ C、 $(- 6, 12)$ D、 $(4, 18)$

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9、已知 $m$ 为实数，若复数 $z = (m^{2} - 4) + (m + 2) i$ 为纯虚数，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、2 B、 $- 2 i$ C、4 D、 $- 4 i$

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10、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别是 $B D_{1}$ 和 $A D$ 的中点．

(1)、求证： $C D_{1} ⊥ E F$ ；

(2)、求直线 $C D_{1}$ 与平面 $B E F$ 所成角的正弦值．

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11、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $b \sin \frac{A + B}{2} = c \sin B$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = 3$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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12、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $a$ 的正方形，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P A = P D = \frac{\sqrt{2}}{2} a$ ，设 $E$ ， $F$ 分别为 $P C$ ， $B D$ 的中点.

(1)、求证： $E F$ //平面 $P A D$ ；

(2)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P D C$ .

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13、全民健身，强国有我，某企业为增强广大职工的身体素质和健康水平，组织全体职工开启了“学习强国”平台的强国运动项目，为了解他们的具体运动情况，企业工会从该企业全体职工中随机抽取了100名，统计他们的日均运动步数，并得到如下频率分布直方图：

(1)、求直方图中a的值；

(2)、估计该企业职工日均运动步数的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）

(3)、若该企业恰好有 $\frac{1}{5}$ 的职工的日均运动步数达到了企业制定的优秀强国运动者达标线，试估计该企业制定的优秀强国运动者达标线是多少？

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14、已知向量 $\vec{a} = (4, 3), \vec{b} = (- 1, 1), \vec{c} = (x, 6)$ ．

(1)、求 $| \vec{a} + \vec{b} |$ ；

(2)、当 $\vec{a} // \vec{c}$ 时，求 $x$ 的值

(3)、当 $(\vec{c} - \vec{a}) ⊥ \vec{b}$ 时，求 $x$ 的值

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15、2022年8月16日，航天员的出舱主通道——问天实验舱气闸舱首次亮相.某高中为了解学生对这一新闻的关注度，利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取了30人进行问卷调查，其中高一年级抽取了11人，高二年级抽取了9人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为人.

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16、圆锥被一平面所截得到一个圆台，若圆台的上底面半径为2cm，下底面半径为3cm，圆台母线长为4cm，则该圆锥的侧面积为cm².

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17、在 $△ A B C$ 中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A B} + \vec{A C} - \vec{A D} = \vec{0}$ B、 $\vec{D A} + \vec{E B} + \vec{F C} = \vec{0}$ C、若 $\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|} = \frac{k \vec{A D}}{|\vec{A D}|} (k > 0)$ ，则 $\vec{B D}$ 是 $\vec{A B}$ 在 $\vec{B C}$ 方向上的投影向量 D、若点P是线段AD上的动点，目 $\vec{B P} = λ \vec{B A} + μ \vec{B C}$ ，则 $λ μ$ 的最大值为 $\frac{1}{8}$

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18、下列命题正确的是（）

A、三点确定一个平面 B、一条直线和直线外一点确定一个平面 C、圆心和圆上两点可确定一个平面 D、梯形可确定一个平面

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19、在边长为2的正方形 $A B C D$ 中，动点P，Q在线段 $B D$ 上，且 $|P Q| = 2$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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20、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (1, x)$ ， $\vec{b} = (x - 1, 2)$ ，若 $\overset{⃑}{a} / / \overset{⃑}{b}$ ，则 $x =$ ( )

A、-1或2 B、-2或1 C、1或2 D、-1或-2

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