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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + x - 1}{e^{x}}$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 存在三个不同的零点 B、函数 $f (x)$ 的极小值为 $f (- 1) = - e$ ，极大值为 $f (2) = \frac{5}{e^{2}}$ C、若 $x \in [t, + \infty)$ 时， $f {(x)}_{\max} = \frac{5}{e^{2}}$ ，则t的最大值为2 D、若方程 $f (x) = k$ 有两个实根，则 $k \in (- e, 0] \cup {\frac{5}{e^{2}}}$

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2、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $B_{1} C_{1}$ 边的中点，点 $P$ 在底面 $A B C D$ 内运动（包括边界），则下列说法正确的有（）.

A、不存在点 $P$ ，使得 $D_{1} P ⊥ A D_{1}$ B、点 $B$ 到平面 $A C M$ 的距离为 $\frac{2}{3}$ C、点 $A_{1}$ 到直线 $A M$ 的距离为1 D、点 $N$ 在棱 $B B_{1}$ 上，且 $B_{1} N = 4 N B$ ，若 $D_{1} P ⊥ N P$ ，则点 $P$ 的轨迹是圆

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3、下列说法正确的是（）

A、回归分析模型中，决定系数 $R^{2}$ 越大，说明模型模拟效果越好 B、已知一组数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}$ 的方差是3，则数 $4 x_{1} - 1, 4 x_{2} - 1, 4 x_{3} - 1, 4 x_{4} - 1, 4 x_{5} - 1, 4 x_{6} - 1$ 的标准差是12 C、从一个装有1个白球和3个红球的袋子中取出2个球，记 $X$ 为取得红球的个数 $P (X = 1) = \frac{1}{2}$ D、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (4, 1)$ ，且 $P (X \geq 5) = 0.1587$ ，则 $P (3 < X < 5) = 0.6826$

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4、过双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左焦点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，且 $\vec{F N} = 3 \vec{F M}$ ，若 $\vec{F N} \cdot \vec{O M} = 0$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{7}$ C、3 D、 $\sqrt{10}$

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5、现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.则第二次抽到红球的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{9}{20}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{5}$

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6、已知函数 $y = x f^{'} (x)$ 的大致图象如图所示（其中 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数），则 $y = f (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7、已知 ${(x - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式的二项式系数和为128，则下列说法不正确的是（）

A、 $n = 7$ B、展开式中各项系数的和为 $- 1$ C、展开式中只有第4项的二项式系数最大 D、展开式中含 $x^{4}$ 项的系数为84

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8、如图，在四面体OABC中， $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在线段OA上，且 $2 O M = M A, N$ 为BC中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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9、某地建立了农业科技图书馆，供农民免费借阅，现收集了该图书馆五年的借阅数据如表：
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码x
1
2
3
4
5
年借阅量y（万册）
4.9
5.1
5.5
5.7
5.8
根据如表，可得y关于x的线性回归方程为 $\hat{y} = 0.24 x + \hat{a}$ ，则 $\hat{a} =$ （）

A、4.62 B、4.66 C、4.68 D、4.78

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10、某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数 $s (t) = t^{2} + t + 1$ 表示，则该物体在 $t = 1$ s时的瞬时速度为（）

A、0m/s B、1m/s C、2m/s D、3m/s

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11、某工业流水线生产一种零件，该流水线的次品率为 $p (0 < p < 1)$ ，且各个零件的生产互不影响．

(1)、若流水线生产零件共有两道工序，且互不影响，其次品率依次为 $p_{1} = \frac{1}{35}, p_{2} = \frac{1}{34}$ ．
①求p；
②现对该流水线生产的零件进行质量检测，检测分为两个环节：先进行自动智能检测，若为次品，零件就会被自动淘汰；若智能检测结果为合格，则进行人工抽检．已知自动智能检测显示该批零件的合格率为99%，求人工抽检时，抽检的一个零件是合格品的概率（合格品不会被误检成次品）．

(2)、视p为概率，记从该流水线生产的零件中随机抽取n个产品，其中恰好含有 $m (n > m)$ 个次品的概率为 $f (p)$ ，求函数 $f (p)$ 最大值．

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12、若 $a > 0, b > 0$ 且 $a b = a + b + 3$ ，则 $a b$ 的取值范围为.

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13、在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器．某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：①每次祈愿获取五星角色的概率 $p_{0} = 0.006$ ；②若连续 $89$ 次祈愿都没有获取五星角色，那么第 $90$ 次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立．设 $X$ 表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数．

(1)、求 $X$ 的概率分布；

(2)、求 $X$ 的数学期望（保留小数点后两位）．
参考数据： ${0.994}^{90} \approx 0.582$ ．

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14、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，经过点 $F_{1}$ 且倾斜角为 $θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $A$ 、 $B$ 两点（其中点 $A$ 在 $x$ 轴上方）， $△ A B F_{2}$ 的周长为8．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、如图，将平面 $x o y$ 沿 $x$ 轴折叠，使 $y$ 轴正半轴和 $x$ 轴所确定的半平面（平面 $A F_{1} F_{2}$ ）与 $y$ 轴负半轴和 $x$ 轴所确定的半平面（平面 $B F_{1} F_{2}$ ）互相垂直．
（i）若 $θ = \frac{π}{3}$ ，求异面直线 $A F_{1}$ 和 $B F_{2}$ 所成角的余弦值；
（ii）是否存在 $θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ ，使得 $△ A B F_{2}$ 折叠后的周长与折叠前的周长之比为 $\frac{15}{16}$ ？若存在，求 $tan θ$ 的值；若不存在，请说明理由．

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A D$ 是等边三角形，且 $B C / / A D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $P B = A B = A D = 2 B C$ ， $E$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、证明： $C E / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

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16、已知函数 $f (x) = \ln x + a x^{2} - x + a + 1$ .

(1)、证明曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线过原点；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} + a_{n} = 4 n + 4 (n \in N^{*})$ ，且 $a_{1} = 3$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {(- 2)}^{a_{n}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} < - 2024$ ，求 $n$ 的最小值.

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18、已知复数 $z$ 满足 $(z + 2) i = 2 z - 1$ ，则复数 $\bar{z} =$ .

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19、平面上到两定点的距离之积为常数的动点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知曲线 $C$ 是到两定点 $F_{1} (- \sqrt{2} ， 0) ， F_{2} (\sqrt{2} ， 0)$ 的距离之积为常数2的点的轨迹，设 $P (m, n)$ 是曲线 $C$ 上的点，给出下列结论，其中正确的是（）

A、曲线 $C$ 关于原点 $O$ 成中心对称 B、 $- 1 \leq n \leq 1$ C、 $S_{△ P F_{1} F_{2}} \leq 1$ D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 周长的最小值为 $4 \sqrt{2}$

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20、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，则下面判断正确的是（）

A、若 $\forall x \in R$ ， $f (x + 1) > f (x)$ ，则函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数 B、若 $\forall x_{1}, x_{2} \in R$ ， $|f (x_{1}) + f (x_{2}) |\leq| sin x_{1} + sin x_{2}|$ ，则函数 $f (x)$ 是奇函数 C、若 $\forall x_{1}, x_{2} \in R$ ， $|f (x_{1}) - f (x_{2}) |\leq| sin x_{1} - sin x_{2}|$ ，则函数 $f (x)$ 是周期函数 D、若 $\forall x_{1}, x_{2} \in (- 1, 1)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ， $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < |sin x_{1} - sin x_{2}|$ ，则函数 $f (x) + \sin x$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上单调递增，函数 $f (x) - \sin x$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上单调递减

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