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相关试卷

1、定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (1 - y), f (0) = 0, f (1) = 1$ ，且 $x \in (0, 2)$ 时， $f (x) > 0$ ，则 $f (3) =$ ， $\sum_{k = 0}^{2024} f (\frac{k - 1}{2}) =$ .

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2、将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标 $x_{i}$ 和某植物分布的数量 $y_{i} (i = 1, 2, \dots, 6)$ ，得到样本 $(x_{i}, y_{i})$ ，且其相关系数 $r = \frac{15}{16}$ ，记 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ .经计算可知： $\bar{x} = 9, \sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 550, \sum_{i = 1}^{6} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 256$ ，则 $\hat{b} =$ .
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ .

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3、设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (0, σ^{2})$ ，若 $P (X > 1) = 0.3$ ，则 $P (- 1 < X < 0) =$ .

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4、棱长为2的菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起，使顶点 $A$ 至点 $P$ ，连接 $P C$ ，构成三棱锥 $P - B C D$ .设二面角 $P - B D - C$ 的大小为 $α$ ，直线 $P D$ 和直线 $B C$ 所成角为 $β$ .在折起的过程中，下列说法正确的是（）.

A、任取三棱锥 $P - B C D$ 中的三条棱，它们共面的概率为0.2 B、存在一个位置，使 $P D ⊥ B C$ C、当 $α = \frac{π}{3}$ 时，三棱锥 $P - B C D$ 的外接球的表面积为 $\frac{28 π}{3}$ D、当 $α \in [\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}]$ 时， $\cos β$ 的最大值为 $\frac{5}{8}$

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5、若 $m, n$ 为正整数且 $n > m$ ，则下列等式中正确的是（）.

A、 $C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}$ B、 $C_{n - 1}^{m} + C_{n - 1}^{m - 1} = C_{n}^{m + 1}$ C、 $C_{n}^{m} = \frac{A_{n}^{n}}{A_{m}^{m} (n - m)!}$ D、 $C_{n}^{1} + 2 C_{n}^{2} + 4 C_{n}^{3} + \dots + 2^{n - 1} C_{n}^{n} = \frac{3^{n} - 1}{2}$

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6、下列说法正确的是（）.

A、利用线性回归方法求出一组数据 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n})$ 的线性回归直线方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ ，则这组数据确定的点中至少有一个在这条直线上 B、在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 C、若随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (4, \frac{1}{2})$ ，则 $X$ 的方差为2 D、若随机事件 $A, B$ 满足 $P (A) > 0, P (B ∣ A) = P (B)$ ，则事件 $A$ 与 $B$ 相互独立

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7、若 $x = 1$ 为函数 $f (x) = a (x - a) {(x - 1)}^{2}$ 的极大值点，则实数 $a$ 的取值范围为（）.

A、 $a > 1$ B、 $a < 1$ C、 $a < 0$ 或 $a > 1$ D、 $0 < a < 1$

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8、五一劳动节放假5天，小王同学各花1个上午的时间游览茱萸湾风景区､双博馆，另外花2个下午的时间打篮球､1个下午的时间踢足球，其余时间复习功课，这个五一劳动节小王同学的不同安排有（）种.

A、300 B、600 C、900 D、1200

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x}, x \leq 0, \\ x^{\frac{1}{2}}, x > 0, \end{array}$ 则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 是 $R$ 上的增函数 B、 $f (x)$ 的值域为 $[0, + \infty)$ C、“ $x > \frac{1}{4}$ ”是“ $f (x) > \frac{1}{2}$ ”的充要条件 D、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 恰有一个实根，则 $a > 1$

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10、已知 $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ 是三个不共面的向量， $\vec{A B} = \vec{i} - 2 \vec{j} + 2 \vec{k}, \vec{A C} = 3 \vec{i} - \vec{j} - \vec{k}, \vec{A D} = λ \vec{i} + 2 \vec{j} - 6 \vec{k}$ ，且 $A, B, C, D$ 四点共面，则实数 $λ$ 的值为（）.

A、1 B、2 C、3 D、4

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11、命题“ $\exists x \in R, - x^{2} + a x - 1 > 0$ ”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）.

A、 $(- \infty, 2]$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $[- 2, 2]$ D、 $[2, + \infty)$

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12、函数 $f (x) = \frac{2 x + sin x}{x^{2} + 1}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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13、已知一直线经过点 $A (2, 3, 2), B (- 1, 0, - 1)$ ，下列向量中是该直线的方向向量的为（）

A、 $\vec{a} = (- 1, 1, 1)$ B、 $\vec{a} = (1, - 1, 1)$ C、 $\vec{a} = (1, 1, - 1)$ D、 $\vec{a} = (1, 1, 1)$

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14、若集合 $P = {x ∣ |x| < 1}, Q = \{- 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $P \cap Q =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{- 1, 0\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{- 1, 0, 1\}$

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15、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(1, \frac{3}{2})$ ，且焦距与长半轴相等.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、不过右焦点 $F_{2}$ 且与x轴垂直的直线交椭圆C于A，M两个不同的点，连接 $A F_{2}$ 交椭圆C于点B.
（i）若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点；
（ii）若过左焦点 $F_{1}$ 的直线交椭圆C于D，G两个不同的点，且AB $⊥$ DG，求四边形ADBG面积的最小值.

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16、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = B C = 2 \sqrt{2}$ ， $P A = P B = P C = A C = 4$ ， O为AC的中点.
（1）证明： $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ；
（2）若点M在棱BC上，且二面角 $M - P A - C$ 为 $30 °$ ，求PC与平面 $P A M$ 所成角的余弦值.

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17、2024年1月4日，教育部在京召开全国“双减”工作视频调度会，会议要求进一步提高双减政治站位，将“双减”工作作为重中之重，坚定不移推进，成为受老师和家长关注的重要话题.某学校为了解家长对双减工作的满意程度进行问卷调查（评价结果仅有“满意”、“不满意”），从所有参与评价的对象中随机抽取120人进行调查，部分数据如表所示（单位：人）：

满意
不满意
合计
男性

10
50
女性
60

合计

120
参考数据：
$P (χ^{2} \geq x_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$x_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、请将 $2 \times 2$ 列联表补充完整，试根据小概率值 $α = 0.10$ 的独立性检验，能否认为“对双减工作满意程度的评价与性别有关”？

(2)、若将频率视为概率，从所有给出“满意”的家长中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的男性家长的人数，求X的分布列和数学期望；
参考公式： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ，$ ，其中 $n = a + b + c + d .$

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{n} + 2 S_{n} \cdot S_{n - 1} = 0$ $(n \geq 2)$ ， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，则 $a_{n}$ =.

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19、现有5名学生站成一排，若学生甲乙都不站两端，则不同站法共有

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20、直线 $2 x + (m + 1) y + 4 = 0$ 与直线 $m x + 3 y - 6 = 0$ 平行，则 $m =$

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$P (χ^{2} \geq x_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	满意	不满意	合计
男性		10	50
女性	60
合计			120