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相关试卷

1、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A B = A C = \frac{1}{2} A A_{1} = 2$ ， $A B ⊥ A C$ ， D，E分别为线段 $C C_{1}$ ， $B B_{1}$ 上的点， $C D = 1$ .

(1)、证明：平面 $B D A ⊥$ 平面 $E C A_{1}$ ；

(2)、若点 $B_{1}$ 到平面 $E C A_{1}$ 的距离为 $\frac{4}{7}$ ，求直线 $B D$ 与平面 $E C A_{1}$ 所成的角的正弦值.

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2、已知定义域为 $[a, b]$ 的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f (a) < f (b)$ ，且 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的值域为（）

A、 $[f (x_{1}), f (x_{3})]$ B、 $[f (x_{2}), f (x_{4})]$ C、 $[f (a), f (b)]$ D、 $[f (x_{2}), f (b)]$

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3、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} C$ 与 $A C_{1}$ 交于点 $O$ ， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = B C = A C = A A_{1}$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点．

(1)、证明： $A_{1} B //$ 平面 $A C_{1} D$ ；

(2)、证明： $A D ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(3)、求直线 $A C_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值．

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4、我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 $[0, 0.5)$ ， $[0.5, 1)$ ， …， $[4, 4.5]$ 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)、求频率分布直方图中a的值；

(2)、已知该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；

(3)、估计居民月均用水量的众数、中位数，说明理由．

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5、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，向量 $\vec{m} = (a, \sqrt{3} b)$ ， $\vec{n} = (\cos A, \sin B)$ ，且 $\vec{m} // \vec{n}$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{7}$ ， $b = 2$ ，求 $c$ 的值和 $△ A B C$ 的面积．

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6、抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为一号和二号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.

(1)、写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；

(2)、求下列事件的概率；
① $A =$ “两个点数之和是5”；
② $B =$ “一号骰子的点数比二号骰子的点数大”.

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7、《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为．

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8、已知长方体的长、宽、高分别为3，2，1，且长方体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为．

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9、某校团委举办“强国复兴有我”知识竞赛，甲、乙两位同学同时回答一道题目．已知甲同学答对的概率为 $\frac{3}{4}$ ，乙同学答对的概率为 $\frac{2}{3}$ ．若这两位同学回答正确与否互不影响，则甲、乙两位同学中至少1位同学答对这道题的概率为．

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10、i是虚数单位，复数 $\frac{5 + 10 i}{3 - 4 i} =$ ．

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11、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为6， $△ A_{1} B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，则点 $A$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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12、某市6月1日至14日的空气质量指数变化趋势如图所示，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，下列说法中不正确的是（）

A、该市14天空气质量指数的中位数为78.5 B、该市14天空气质量指数的第30百分位数为55 C、该市14天空气质量指数的平均值大于100 D、计算连续3天空气质量指数的方差，其中6日到8日的方差最大

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13、若连续抛两次骰子得到的点数分别是 $m$ ， $n$ ，则点 $P (m, n)$ 在直线 $x + y = 8$ 上的概率是（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{5}{36}$ D、 $\frac{1}{6}$

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14、设 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面， $m$ ， $n$ 是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）

A、若 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n // β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $α // β$ C、若 $m // n$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $α // β$ D、若 $α // β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m // n$

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15、如图，已知 $\overset{⃑}{A B} = 2 \overset{⃑}{B P}$ ，则 $\overset{⃑}{O P} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \overset{⃑}{O A} - \frac{3}{2} \overset{⃑}{O B}$ B、 $- \frac{1}{2} \overset{⃑}{O A} + \frac{3}{2} \overset{⃑}{O B}$ C、 $\frac{1}{2} \overset{⃑}{O A} + \frac{3}{2} \overset{⃑}{O B}$ D、 $- \frac{1}{2} \overset{⃑}{O A} - \frac{3}{2} \overset{⃑}{O B}$

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16、用半径为 $2 \sqrt{3}$ 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，则该圆锥筒的高为（）

A、12 B、 $\sqrt{3}$ C、9 D、3

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17、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $B A_{1}$ 与 $D D_{1}$ 所成角的大小为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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18、一个总体中共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个样本容量为3的样本，则某一个特定个体被抽到的概率为（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{7}$

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19、抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 $A =$ “第一枚硬币正面朝上”，事件 $B =$ “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（）

A、 $A$ 与 $B$ 互为对立事件 B、 $P (A) = P (B)$ C、 $A$ 与 $B$ 相等 D、 $A$ 与 $B$ 互斥

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20、袋中装有大小、形状、材质完全相同的小球，其中M个红球，N个黄球．

(1)、若 $M = 2$ ， $N = 3$ ，现采用不放回摸球，每次摸1个小球，求在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到黄球的概率；

(2)、若 $M = 4$ ，现采用有放回摸球n次，每次摸1个小球，设摸到红球的次数为随机变量X，若 $E (X) = 2$ ， $D (X) = \frac{4}{3}$ ，求n和N的值；

(3)、若 $M = 3$ ， $N = 4$ ，现从袋中摸出2个球，取到红球记1分，取到黄球记2分，记最后总得分为随机变量Y，求Y的分布列以及数学期望．

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