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相关试卷

1、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $\frac{cos B}{2 cos A} = sin (C - \frac{π}{6})$ ，且 $b sin C = 2 sin B$ .

(1)、求 $A$ 及 $c$ ；

(2)、若点 $D$ 在边 $B C$ 上，且 $B C = 3 B D, A D = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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2、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足， $|\vec{a}| = 4, |\vec{b}| = 2 \sqrt{3}$ ，且 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \vec{b}$ .

(1)、求 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 及 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值；

(2)、若 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ (λ \vec{a} + \vec{b})$ ，求 $λ$ 的值.

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3、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 为共线向量，且 $\vec{a} = (3, 1), \vec{b} = (x, 2) (x \in R)$ ，则 $x =$ .

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4、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $A B$ 上的动点， $D F ⊥$ 平面 $D_{1} E C, F$ 为垂足，下列结论正确的是（）

A、 $F D_{1} = F C$ B、三棱锥 $C - D E D_{1}$ 的体积为定值 C、 $E D_{1} ⊥ A_{1} D$ D、 $B C_{1}$ 与 $A C$ 所成的角为 $45 °$

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5、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，下列结论正确的是（）

A、若 ${sin}^{2} A = {sin}^{2} B + {sin}^{2} C - sin B sin C$ ，则角 $A = \frac{π}{3}$ B、存在 $A, B, C$ ，使 $tan A + tan B + tan C > tan A tan B tan C$ 成立 C、若 $sin 2 A = sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰或直角三角形 D、若 $a = \sqrt{5}, b = \sqrt{15}, A = 30^{\circ}$ ，则 $△ A B C$ 有两解

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6、已知 $m, n$ 是两条不同的直线， $α$ 是平面，若 $m$ $∥$ $α, n \subset α$ ，则 $m, n$ 的关系可能为（）

A、平行 B、垂直 C、相交 D、异面

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7、在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 2 \sqrt{2}, B C = 4$ ，点 $P$ 满足 $\vec{B P} = t \vec{B C}$ ，且 $\frac{\vec{A P} \cdot \vec{B C}}{|\vec{B C}|} = 1$ ，则 $t =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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8、某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发､渗透､流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位： $mm$ ）.24小时降雨量的等级划分如下：
24小时降雨量（精确到 $0.1$ ）
$\dots$
$0.1 ~ 9.9$
$10.0 \sim 24.9$
$25.0 \sim 49.9$
$50.0 ~ 99.9$
降雨等级
$\dots$
小雨
中雨
大雨
暴雨
在一次降雨过程中，用一个侧棱 $A A_{1} = 80 mm$ 的三棱柱容器收集的24小时的雨水如图所示，当侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 水平放置时，水面恰好过 $A C, B C, A_{1} C_{1}, B_{1} C_{1}$ 的中点.则这24小时的降雨量的等级是（）

A、小雨 B、中雨 C、大雨 D、暴雨

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9、一个水平放置的平面图形 $O A B C$ 按斜二测画法得到的直观图 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 如图所示.知 $O^{'} A^{'} = 2 C^{'} B^{'} = 4, O^{'} C^{'} = A^{'} B^{'}$ ，则平面图形 $O A B C$ 的面积为（）

A、3 B、6 C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $12 \sqrt{2}$

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10、已知 $cos α = \frac{1}{2}$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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11、“南澳牡蛎”是我国地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉.2024年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下：
人工投入增量x（人）
2
3
4
6
8
10
13
年收益增量y（万元）
13
22
31
42
50
56
58
该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程： $\hat{y} = 4.1 x + 11.8$ ；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线： $y = \hat{b} \sqrt{x} + \hat{a}$ 的附近，对人工投入增量x做变换，令 $t = \sqrt{x}$ ，则 $y = \hat{b} \cdot t + \hat{a}$ ，且有 $\bar{t} = 2.5$ ， $\bar{y} = 38.9$ ， $\sum_{i = 1}^{7} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y}) = 81.0$ ， $\sum_{i = 1}^{7} {(t_{i} - \bar{t})}^{2} = 3.8$ .

(1)、（i）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）；
（ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数 $R^{2}$ ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量.
回归模型
模型①
模型②
回归方程
$\hat{y} = 4.1 x + 11.8$
$y = \hat{b} \sqrt{x} + \hat{a}$
$\sum_{i = 1}^{7} {(y_{i} - \hat{y_{i}})}^{2}$
182.4
79.2

(2)、根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布 $N (32, 16)$ .购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大?
附：若随机变量 $Z ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - 3 σ < Z < μ + 3 σ) = 0.9974$ ， ${0.9987}^{10} \approx 0.9871$ ；
样本 $(t_{i}, y_{t}) (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ 的最小二乘估计公式为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \hat{y_{i}})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ .

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12、为丰富和活跃学校教师业余文化生活，提高教师身体素质，展现教师自我风采，增进教师沟通交流，阳泉一中举办了2024年度第一届青年教师团建暨羽毛球比赛活动，已知其决赛在小胡和小张之间进行，每场比赛均能分出胜负，已知该学校为本次决赛提供了1000元奖金，并规定：若其中一人赢的场数先达到4场，则比赛终止，同时该人获得全部奖金；若比赛意外终止时无人先赢4场，则按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两人分配奖金.若每场比赛小胡赢的概率为 $\frac{1}{2}$ ，每场比赛相互独立.

(1)、在已进行的5场比赛中小胡赢了3场，若比赛继续进行到有人先赢4场，求小胡赢得全部奖金的概率；

(2)、若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），记小胡获得奖金数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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13、已知奇函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x$ 在 $x = 1$ 处取得极大值2．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $\exists x \in [- 4, 3]$ ，使得 $f (x) \geq m^{2} - 9 m$ 有解，求实数 $m$ 的取值范围．

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14、已知 ${(3 \sqrt{x} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1：3.

(1)、求n的值；

(2)、求展开式中所有的有理项.

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15、已知随机变量 $X ~ B (4, p)$ ， $E (X) = \frac{4}{3}$ ，则 $D (2 X - 1) =$ .

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16、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + x - 1}{e^{x}}$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 存在二个不同的零点 B、函数 $f (x)$ 的极大值为 $f (- 1) = - e$ ，极小值为 $f (2) = \frac{5}{e^{2}}$ C、若 $x \in [t, + \infty)$ 时， $f {(x)}_{max} = \frac{5}{e^{2}}$ ，则 $t$ 的最大值为2 D、若方程 $f (x) = k$ 有两个实根，则 $k \in (- e, 0] \cup \{\frac{5}{e^{2}}\}$

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17、定义在区间 $[- 5, 3]$ 上的函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，以下命题正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的最小值是 $f (- 5)$ B、 $y = f (x)$ 在区间 $(- 4, 1)$ 上单调 C、 $x = 0$ 是函数 $y = f (x)$ 的极值点 D、曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 附近比在 $x = 2$ 附近上升得更缓慢

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18、定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作 $a \equiv b (\mod m)$ ，比如： $35 \equiv 25 (\mod 10)$ .已知： $n = C_{10}^{0} - C_{10}^{1} 10 + C_{10}^{2} 10^{2} - C_{10}^{3} 10^{3} + \cdot \cdot \cdot + C_{10}^{10} 10^{10}$ ，满足 $n \equiv p (\mod 7)$ ，则 $p$ 可以是（）

A、44 B、32 C、35 D、29

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19、给图中 $A, B, C, D, E$ 五个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（）种不同的染色方案.

A、48 B、60 C、72 D、84

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20、不等式 $A_{8}^{x} < 6 A_{8}^{x - 2}$ 的解集为（　　）

A、 $[2, 8]$ B、 $[2, 6]$ C、 $(7, 12)$ D、 $\{8\}$

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24小时降雨量（精确到 $0.1$ ）	$\dots$	$0.1 ~ 9.9$	$10.0 \sim 24.9$	$25.0 \sim 49.9$	$50.0 ~ 99.9$
降雨等级	$\dots$	小雨	中雨	大雨	暴雨

人工投入增量x（人）	2	3	4	6	8	10	13
年收益增量y（万元）	13	22	31	42	50	56	58

回归模型	模型①	模型②
回归方程	$\hat{y} = 4.1 x + 11.8$	$y = \hat{b} \sqrt{x} + \hat{a}$
$\sum_{i = 1}^{7} {(y_{i} - \hat{y_{i}})}^{2}$	182.4	79.2