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相关试卷

1、某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：
时长t（小时）
$[0, 2)$
$[2, 2.5)$
$[2.5, 3)$
$[3, 3.5)$
$[3.5, 4]$
人数
3
4
33
42
18
用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响，

(1)、从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；

(2)、从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望；

(3)、从该校高二学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有 $ξ$ 人可以在3小时内完成各科作业， $η$ 人在3小时及以上完成各科作业，试写出数学期望 $E (ξ)$ ， $E (η)$ 并比较其大小关系.

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} - \frac{1}{2} a_{n}^{2}$ ．给出下列四个结论：
①数列 $\{a_{n}\}$ 每一项 $a_{n}$ 都满足 $0 < a_{n} \leq 1 (n \in N^{*})$ ；
②数列 $\{a_{n}\}$ 是递减数列；
③数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} < 2$ ；
④数列 $\{a_{n}\}$ 每一项都满足 $a_{n} \leq \frac{2}{n + 1}$ 成立．
其中，所有正确结论的序号是．

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3、从5双不同尺码的鞋子中任取4只，使其中至少有2只能配成一双，则有种不同的取法．

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4、若随机变量X服从二项分布 $B (5, \frac{1}{3})$ ，则 $P (X = 4) =$ ．

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5、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是 $0.8 π r^{2}$ 分，其中 $r$ （单位： $cm$ ）是瓶子的半径．已知每出售 $1 mL$ 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为 $6 cm$ ，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为（）

A、 $2 cm$ B、 $\frac{9}{2} cm$ C、 $5 cm$ D、 $6 cm$

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6、有一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，平均分配到三家医院，每家医院分到医生1名和护士2名．其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（）种．

A、36 B、72 C、108 D、144

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7、甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ，则（）

A、两人都成功破译的概率为 $\frac{7}{12}$ B、两人都成功破译的概率为 $\frac{5}{12}$ C、密码被成功破译的概率为 $\frac{7}{12}$ D、密码被成功破译的概率为 $\frac{1}{2}$

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8、若抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点到直线 $x = - 2$ 的距离为4，则 $p$ 的值为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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9、假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%.在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为（）

A、84% B、85% C、86% D、87%

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10、已知离散型随机变量X的分布列如下：
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则其数学期望E(X)等于（）

A、1 B、0.6 C、2＋3m D、2.4

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11、已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = - 1$ ， $a_{4} = 8$ ，则 $a_{7}$ 等于（）

A、 $32$ B、 $- 32$ C、 $64$ D、 $- 64$

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12、已知函数 $f (x) = e^{x} + \ln (x + 1) - a x$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 在区间 $(- 1, + \infty)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 3$ 时，判断关于 $x$ 的方程 $f (x) = 1$ 实数根的个数，并证明.

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13、某研发团队研发了一款聊天机器人，在对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，机器人作答正确的概率为0.8；如果出现语法错误，机器人作答正确的概率为0.3.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，机器人的作答是否正确相互独立.该研发团队成员小王想挑战一下聊天机器人，与机器人各自从给定的10个问题中随机抽取5个作答.已知在这10个给定的问题中，小王恰好能正确作答其中9个问题.

(1)、对抽出的5个问题，求小王能全部答对的概率；

(2)、求聊天机器人答对题数 $X$ 的数学期望；

(3)、答对题数较多者判定为获胜，求小王获胜的概率.

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14、在① $f (x)$ 在区间 $[\frac{2 π}{3}, \frac{7 π}{6}]$ 上单调递增，② $f (- \frac{π}{12}) = 0$ ， ③ $f (0) = f (\frac{π}{3})$ 这三个条件中任选一个，补充在下面题目中，并解答.已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (|φ| < \frac{π}{2})$ ， ___________.

(1)、当 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 时，不等式 $|f (x) - m| \leq 1$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 的单调增区间.

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15、如图，直线 $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是梯形， $A B / / C D$ ， $C D ⊥ P A$ ， $F$ 为线段 $P A$ 上异于端点的一点， $P D = A B = A D = \frac{1}{2} C D = 1$ ，四边形 $P D C E$ 是平行四边形.

(1)、若 $F$ 是 $P A$ 的中点，求证： $A C / /$ 平面 $D E F$ ；

(2)、求二面角 $F - P B - C$ 的大小.

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16、已知 $a \in R$ ，命题 $p$ ： $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + a > 0$ 为真命题.实数 $a$ 的取值集合记为 $A$ .

(1)、求集合 $A$ ；

(2)、设 $f (x) = \ln \frac{x - m - 1}{m - 1 - x}$ 的定义域为集合 $B$ ，若 $B \subseteq A$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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17、定义 $\min \{a, b, c\}$ 表示 $a, b, c$ 中最小的数，已知实数 $a, b, c$ 满足 $a + b + \sqrt{c} = 0$ ， $a b \sqrt{c} = - 2$ ，则 $\min \{a, b, c\}$ 的最大值是.

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18、如图，在半径为8的半圆形纸片中， $O$ 为圆心， $A B$ 为直径， $C$ 是弧 $A B$ 的中点， $D$ 是弧 $A C$ 的中点，将该纸片卷成一个侧面积最大的无底圆锥后，异面直线 $O A$ 与 $C D$ 所成角的余弦值是.

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19、已知函数 $f (x) = e^{x + 1}$ ， $g (x) = x^{3}$ ，若存在实数 $a$ ， $b$ ，使得 $f (a) = g (b)$ ，请写出 $b - a$ 的一个可能值：.

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20、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为 $A_{1} B_{1}$ 的中点，点 $Q$ 在正方形 $C C_{1} D_{1} D$ 内部及其边界上运动，则下列说法正确的有（）

A、当 $P Q = \sqrt{5}$ 时，点 $Q$ 的轨迹长度为 $π$ B、若 $P Q / /$ 平面 $A_{1} B D$ ，则 $P Q$ 长度的最小值为2 C、当 $P Q = \sqrt{5}$ 时，二面角 $Q - A B - P$ 的余弦值的最小值是 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、记直线 $P Q$ 与平面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成角为 $θ$ ，则 $\sin θ$ 的取值范围是 $[\frac{2}{3}, 1]$

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时长t（小时）	$[0, 2)$	$[2, 2.5)$	$[2.5, 3)$	$[3, 3.5)$	$[3.5, 4]$
人数	3	4	33	42	18

X	1	3	5
P	0.5	m	0.2