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相关试卷

1、已知 $i$ 是虚数单位， $z$ 是复数，则下列说法正确的是（）

A、 $i^{2024} = - 1$ B、 $z = \frac{3 - 2 i}{1 + i}$ 的虚部是 $- \frac{5}{2}$ C、 $z \cdot \bar{z} = {| z |}^{2}$ D、 $z = 3 + 2 i$ 对应的点在第一象限

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2、已知 $z$ 满足 $2 \bar{z} + \frac{4}{1 + i} = z + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 2 - i$ B、 $2 - i$ C、 $- 2 + i$ D、 $2 + i$

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3、复数 $\frac{1 - 2 i}{i^{3}} (i$ 为虚数单位 $)$ 的虚部是( )

A、 $i$ B、 $- 2$ C、 $- 1$ D、 $1$

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4、已知向量 $\vec{a} = (x, 2)$ ， $\vec{b} = (3, - 1) .$ 若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ ( )

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- 3$ D、 $- 6$

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5、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x$ ， $g (x) = - x^{2} - a (a \in R)$ .

(1)、若函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的最小值；

(2)、若函数 $G (x) = f (x) + g (x)$ 的图象与 $y = a x$ 有且只有一个交点，求 $a$ 的取值范围．

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6、为迎接 $2023$ 年美国数学竞赛 $(A M C)$ ，选手们正在刻苦磨练，积极备战，假设模拟考试成绩从低到高分为 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 三个等级，某选手一次模拟考试所得成绩等级 $X$ 的分布列如下：
$X$
$1$
$2$
$3$
$P$
$0.3$
$0.5$
$0.2$
现进行两次模拟考试，且两次互不影响，该选手两次模拟考试中成绩的最高等级记为 $ξ$ ．

(1)、求此选手两次成绩的等级不相同的概率；

(2)、求 $ξ$ 的分布列和数学期望．

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7、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ，且 $2 S_{1}$ ， $S_{3}$ ， $S_{2}$ 成等差数列， $a_{4} + a_{5} = \frac{3}{32}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{(2 n - 1) (1 - 2 \log_{2} a_{n})}$ ，证明：数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n} < \frac{1}{2}$ .

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8、某游泳队共有20名队员，其中一级队员有10名，二级队员有5名，三级队员有5名，若一､二､三级队员通过选拔进入比赛的概率分别是 $0.8, 0.7, 0.5$ ，则任选一名队员能通过选拔进入比赛的概率为．

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9、已知复数 $z$ 满足 $(3 - 2 i) z = 4 - 7 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $|z| =$ .

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10、设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为d，前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{3} = 12$ ， $S_{1}_{2} > 0$ ， $S_{1}_{3} < 0$ ，则下列结论正确的是（）．

A、数列 ${a_{n}}$ 是递增数列 B、 $S_{5} = 60$ C、 $- \frac{24}{7} < d < - 3$ D、 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， …， $S_{1}_{2}$ 中最大的是 $S_{6}$

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11、为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（　　）

A、某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B、课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法 C、课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法 D、课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法

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12、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f^{'} (x) - f (x) > 0$ ，则不等式 $e^{4} f (3 x - 4) > e^{2 x} f (x)$ 的解集为（）

A、 $(2, + \infty)$ B、 $(e, + \infty)$ C、 $(- \infty, e)$ D、 $(- \infty, 2)$

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13、如图所示，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E为上底面对角线 $A_{1} C_{1}$ 的中点，若 $\overset{⃑}{B E} = \overset{⃑}{A A_{1}} + x \overset{⃑}{A B} + y \overset{⃑}{A D}$ ，则（）

A、 $x = - \frac{1}{2}, y = \frac{1}{2}$ B、 $x = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}$ C、 $x = - \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}$ D、 $x = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{2}$

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14、已知 $cos (α + \frac{π}{4}) = sin (α - \frac{π}{4})$ ，则 $tan (α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- 2 - \sqrt{3}$ B、 $2 - \sqrt{3}$ C、 $- 2 + \sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

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15、智力竞赛决赛由A，B两队进行比赛，A队有甲、乙两名队员，某一道题由甲、乙两名队员共同解答，甲答对的概率为 $\frac{1}{5}$ ，乙答对的概率为 $\frac{1}{6}$ ，则此题A队答对的概率是（至少一人答对即可）（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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16、现南京有4个家庭准备在2023年五一小长假期间选择吉林､白山､四平三个城市中的一个城市旅游，则这4个家庭共有多少种不同的安排方法（）

A、24种 B、6种 C、64种 D、81种

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17、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = \sqrt{5}$ ， $△ B C D$ 是以 $D$ 为直角顶点的等腰直角三角形， $∠ B A D = θ$ ， $θ \in (\frac{π}{2}, π)$

(1)、当 $\cos θ = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ 时，求 $A C$ ；

(2)、当四边形 $A B C D$ 的面积取最大值时，求 $B D$ .

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18、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，若 $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 2, \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ．

(1)、求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ ；

(2)、当 $λ$ 为何值时，向量 $λ \vec{a} - \vec{b}$ 与向量 $\vec{a} + 3 \vec{b}$ 互相垂直？

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19、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c,$ $\vec{α} = (a, c - b)$ ， $\vec{β} = （ sin C + sin B, sin A + sin B ）$ 且 $\vec{α} ∥ \vec{β}$ ．

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c = 3 \sqrt{2}, △ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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20、已知指数函数 $f (x) = (b^{2} + 4 b - 4) a^{x} (b > 0)$ 的图象过点 $(\frac{1}{2}, \sqrt{2})$ ．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、求关于 $x$ 的不等式 ${log}_{a} (3 - 2 x) > {log}_{a} (x - 1)$ 的解集．

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$X$	$1$	$2$	$3$
$P$	$0.3$	$0.5$	$0.2$