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相关试卷

1、已知 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (k, - 2), k \in R, \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ．若 $θ$ 为钝角，则 $k$ 的取值范围是．

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2、在 $△ A B C$ 中， $A = 60 °$ ， $b = 1$ ，其面积为 $\sqrt{3}$ ，则 $\frac{a + b + c}{\sin A + \sin B + \sin C} =$ ．

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3、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ， $g (x) = x - 3$ ，对 $\forall x \in R$ ， $f (x)$ 与 $g (x)$ 中的最大值记为 $m (x) = \max {f (x), g (x)}$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的零点为 $(- 1, 0)$ ， $(3, 0)$ B、函数 $m (x)$ 的最小值为 $- 3$ C、方程 $| m (x) | = 3$ 有3个解 D、方程 $f (f (x)) = m$ 最多有4个解

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4、如图所示，在正六边形 $A B C D E F$ 中，下列结论正确的是（）

A、 $\vec{B D} - \vec{B F} = \vec{A C}$ B、 $\vec{B D} + \vec{B F} = \frac{3}{2} \vec{B E}$ C、 $\vec{F C} \cdot \vec{F A} = {|\vec{F A}|}^{2}$ D、 $\vec{A C}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量为 $\vec{A B}$

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ， $\vec{A D} = 3 \vec{D B}$ ， P为 $C D$ 上一点，且满足 $\vec{A P} = m \vec{A C} + \frac{1}{4} \vec{A B}$ ，若 $|\vec{A C}| = 3$ ， $|\vec{A B}| = 4$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{C D}$ 的值为（）

A、 $- 3$ B、3 C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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6、已知 $α$ 是第四象限角，且 $sin 2 α = - \frac{2}{3}$ ，则 $cos α - sin α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{7}}{3}$

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7、已知正实数 $a, b$ 满足 $a + 2 b = 2$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、9 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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8、在 $△ A B C$ 中，三边长分为 $3, 7, 8$ ，则最大角和最小角之和是（）

A、 $\frac{3}{4} π$ B、 $\frac{2}{3} π$ C、 $\frac{5}{6} π$ D、 $\frac{7}{12} π$

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9、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 为不共线向量， $\vec{A B} = \vec{a} + 5 \vec{b}, \vec{B C} = - 2 \vec{a} + 8 \vec{b}, \vec{C D} = 3 (\vec{a} - \vec{b})$ ，则（）

A、 $A, B, D$ 三点共线 B、 $A, B, C$ 三点共线 C、 $B, C, D$ 三点共线 D、 $A, C, D$ 三点共线

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10、已知向量 $\vec{a} = (sin α, 2), \vec{b} = (1, - cos α)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $tan α =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、-2

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11、集合 $A = {x ∣ - 3 < x \leq 2}, B = \{- 3, - 1, 1, 4\}$ ，则 $A \cap B$ 等于（）

A、 $\{- 1, 1\}$ B、 $\{1, 3\}$ C、 $\{- 2, 0, 1, 2, 3, 4\}$ D、 $(- 1, 4]$

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12、已知非零向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 不共线．

(1)、如果 $\vec{A B} = \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}, \vec{B C} = 2 \vec{e_{1}} + 8 \vec{e_{2}}, \vec{C D} = 3 (\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}})$ ，求证：A，B，D三点共线；

(2)、若 $k \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 和 $\vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}}$ 是方向相反的两个向量，试确定实数k的值．

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13、已知平面向量 $\vec{m}$ 与 $\vec{m} + \vec{n}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，若 $|\vec{m}| - λ |\vec{n}| \leq 0$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围为．

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14、已知三个复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ ，且 $|z_{1}| = |z_{2}| = 2$ ， $|z_{3}| = \sqrt{2}$ ， $z_{1}$ ， $z_{2}$ 所对应的向量 $\vec{O Z_{1}}$ ， $\vec{O Z_{2}}$ 满足 $\vec{O Z_{1}} \cdot \vec{O Z_{2}} = 0$ ；则 $|z_{3} - z_{1} - z_{2}|$ 的最大值为.

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 °$ ， $A B = 4$ ， $A C = 6$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的中点， $A E = m A B$ ， $A F = n A C$ ， $A D$ 与 $E F$ 交于点 $G$ ， $A G = λ G D$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $λ = 2$ 时， $\vec{A G} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ B、当 $λ = 2$ 时， $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = 3$ C、当 $λ = 3$ 时， $3 \vec{A B} \cdot \vec{A G} = 28$ D、若 $\vec{B G} \cdot \vec{A C} = - 6$ ，则 $λ = \frac{1}{3}$

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16、下列说法正确的是（　　）

A、 $(\vec{A C} + \vec{B O} + \vec{O A}) - (\vec{D C} - \vec{D O} - \vec{O B}) = \vec{0}$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是钝角 C、向量 $\vec{e_{1}} = (2, - 3), \vec{e_{2}} = (\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$ 能作为平面内所有向量的一个基底 D、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\vec{0}$

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点， $G$ 是 $A D$ 的中点，过点 $G$ 作直线分别交 $A B, A C$ 于点 $M$ ， $N$ ，且 $\vec{A B} = x \vec{A M}, \vec{A C} = y \vec{A N}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、4 D、 $\sqrt{2}$

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18、在复平面内，复数 $z = \frac{2 i}{- 1 + 2 i}$ 的共轭复数的虚部为（）

A、 $- \frac{2}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5} i$ D、 $- \frac{2}{5} i$

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19、设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意 $x \in A$ ，都有 $x - 1 \in A$ 或 $x + 1 \in A$ ，则称A为自邻集.记集合 $A_{n} = {1, 2 \dots, n} (n > 2, n \in N)$ 的所有子集中的自邻集的个数为 $a_{n}$ .

(1)、直接写出 $A_{4}$ 的所有自邻集；

(2)、若 $n$ 为偶数且 $n > 6$ ，求证： $A_{n}$ 的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；

(3)、若 $n \geq 4$ ，求证： $a_{n} \leq 2 a_{n - 1}$ .

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20、已知函数 $f (x) = \ln (a x + b) - x^{2}$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = - x$ ．

(1)、求 $a$ 、 $b$ 的值：

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、令 $g (x) = f (x) + \frac{3}{2} x^{2} - m x$ ，若函数 $g (x)$ 的极小值小于 $0$ ，求 $m$ 的取值范围．

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