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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a^{2} + b^{2} - c^{2} = \sqrt{5}, s i n C = \frac{1}{4}$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $s i n A s i n B = \frac{\sqrt{3}}{6}$ ，求 $c$ .

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2、已知在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{10} = 34, a_{5} = 14$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、求数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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3、《九章算术》是中国古代数学专著，承先秦数学发展的源流，进入汉朝后又经许多学者的删补后才最后成书.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在鳖臑 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C, A C ⊥ B C, P A = 2, P B = 2 \sqrt{2}, B C = 1$ ，点 $Q$ 在线段 $A C$ 上， $P Q + Q B$ 的最小值为；当 $P Q + Q B$ 的值最小时，三棱锥 $P - A Q B$ 外接球的表面积为.（本题第一空2分，第二空3分）

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4、过直线 $x - 2 y + 5 = 0$ 上一点 $P$ 向圆 $C : (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 4$ 作切线，切点为 $M$ ，则 $| P M |$ 的最小值为.

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5、函数 $f (x) = c o s (ω x + \frac{π}{5}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则曲线 $y = f (x)$ 的一条对称轴方程为.

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6、已知函数 $f (x) = e^{x} - x^{2}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为.

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7、定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (- x + 2) = f (x + 2)$ ，当 $x \in [0, 2]$ 时， $f (x) = x l n (x + 1)$ ，则（）

A、 $f (- 1) = l n 2$ B、 $f (x)$ 的一个周期为4 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- 2, 0)$ 对称 D、 $f (0) + f (1) + f (2) + ⋯ + f (2024) = 506 l n 6$

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8、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}$ ，其中 $λ \in [0, 1]$ ， $μ \in [0, 1]$ ，则（）

A、当 $λ = 1$ 时， $A P ⊥ B D$ B、当 $μ = 1$ 时，三棱锥 $P - A B D$ 的体积为 $\frac{8}{3}$ C、当 $λ + μ = 1$ 时， $A P$ $∥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ D、当 $λ = μ = \frac{1}{2}$ 时， $P$ 到平面 $A_{1} C_{1} D$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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9、已知点 $P$ 在左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ 的双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 上， $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 12$ ，则（）

A、渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ B、离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $c o s ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{15}{16}$ D、 $S_{△ P F_{1} F_{2}} = \sqrt{31}$

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10、已知 $\vec{a} = (9, 8), \vec{b} = (5, λ)$ ，则下列选项中正确的是（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ = \frac{45}{8}$ B、若 $(\vec{a} - \vec{b})$ $∥$ $\vec{a}$ ，则 $λ = \frac{40}{9}$ C、若 $λ = 5$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | = 5$ D、若 $λ = 5$ ，则 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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11、小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字，比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用10根火柴棒以适当的方式全部放入表格中中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为（）

A、42 B、38 C、54 D、48

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12、已知直线 $l$ 交抛物线 $C : x^{2} = - 18 y$ 于 $M, N$ 两点，且 $M N$ 的中点为 $(3, - 2)$ ，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、-3 B、 $- \frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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13、若 $t a n α = 3$ ，则 $t a n (2 α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{7}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{5}$

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14、函数 $f (x) = (e^{x} - e^{- x}) s i n x$ 在区间 $[- π, π]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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15、在一次身高检查中，某班10名同学的身高分别为 $170 c m, 173 c m, 173 c m, 175 c m, 177 c m$ ， $178 c m, 182 c m, 184 c m, 186 c m, 190 c m$ ，则这组数据的第80百分位数是（）

A、 $183 c m$ B、 $184 c m$ C、 $185 c m$ D、 $186 c m$

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16、已知数列 ${a_{n}}$ ，则“ $a_{n}^{2} = a_{n - 1} a_{n + 1} (n ⩾ 2)$ ”是“ ${a_{n}}$ 为等比数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知复数 $z = (2 + i) (1 - 2 i)$ ，则 $| z | =$ （）

A、5 B、25 C、4 D、3

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18、已知集合 $A = {x ∣ - 2 ⩽ x < 2}, B = {- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$ B、 ${- 1, 0, 1}$ C、 ${x ∣ - 3 ⩽ x ⩽ 2}$ D、 ${- 2, - 1, 0, 1}$

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19、已知 $θ \in [0, π)$ ，向量 $\vec{a} = (c o s θ, s i n θ), \vec{b} = (1, 0), P_{1} ， P_{2} ， P_{3}$ 是坐标平面上的三点，使得 $\vec{O P_{2}} = 2 [\vec{O P_{1}} - (\vec{a} \cdot \vec{O P_{1}}) \vec{a}], \vec{O P_{3}} = 2 [\vec{O P_{2}} - (\vec{b} \cdot \vec{O P_{2}}) \vec{b}]$ .

(1)、若 $θ = \frac{π}{2}, P_{1}$ 的坐标为 $(20, 21)$ ，求 $\vec{O P_{3}}$ ；

(2)、若 $θ = \frac{2 π}{3}, | {\vec{O P}}_{1} | = 6$ ，求 $| {\vec{O P}}_{3} |$ 的最大值；

(3)、若存在 $α \in [0, π)$ ，使得当 $\vec{O P_{1}} = (c o s α, s i n α)$ 时， $△ P_{1} P_{2} P_{3}$ 为等边三角形，求 $θ$ 的所有可能值.

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20、在 $△ A B C$ 中， $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{6} \vec{A B} \cdot \vec{A C} = \frac{\sqrt{3}}{2}, s i n B = c o s A s i n C, P$ 为线段 $A B$ 上的动点，且 $\vec{C P} = x \frac{\vec{C A}}{| \vec{C A} |} + y \frac{\vec{C B}}{| \vec{C B} |}$ ，则 $\frac{\sqrt{3}}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为．

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