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1、如图，在 $▵ A B C$ 中， $A D = 2 D C$ ，若 $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{B D} =$ ( )

A、 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ B、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

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2、已知 $s i n (α + \frac{π}{8}) = \frac{2}{3}$ ，则 $c o s (2 α - \frac{3 π}{4}) =$ ( )

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $- \frac{1}{9}$

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3、在 $▵ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 对边为 $a, b, c$ ，且 $2 c \cdot c o s^{2} \frac{A}{2} = b + c$ ，则 $▵ A B C$ 的形状为( )

A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形

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4、对于 $α \in R$ ，下列等式恒成立的是( )

A、 $t a n (π + α) = t a n (2 π - α)$ B、 $c o s (\frac{3 π}{2} - α) = s i n α$ C、 $c o s (- α) = - c o s α$ D、 $s i n (3 π - α) = s i n α$

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5、下列各对角中终边相同的是( )

A、 $\frac{π}{2}$ 和 $\frac{7 π}{2}$ B、 $- \frac{π}{3}$ 和 $\frac{22 π}{3}$ C、 $- \frac{7 π}{9}$ 和 $\frac{11 π}{9}$ D、 $\frac{20 π}{3}$ 和 $\frac{π}{6}$

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6、在 $▵ A B C$ 中，已知 $t a n A + t a n B = \sqrt{3} (t a n A t a n B - 1)$ ．

(1)、求 $C$ ；

(2)、设 $A B = \sqrt{3}$ ，点 $P$ 为 $▵ A B C$ 外接圆 $O$ 上的一个动点．
(ⅰ)求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围；
(ⅱ)若 $\vec{C O} = λ \vec{C A} + μ \vec{C B}$ ，且 $λ + μ = \frac{2}{3}$ ，求 $▵ A B C$ 的周长．

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7、请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答 $. ① (a + c) (s i n A - s i n C) + (b - a) s i n B = 0$ ； $② 2 s i n B - s i n A = 2 s i n C c o s A$ ； $③ c c o s (\frac{π}{2} - A) = \sqrt{3} a s i n (C + \frac{5 π}{2})$ ，在 $▵ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 ▲ ．

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c = 4$ ，求 $▵ A B C$ 周长的取值范围．

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8、函数 $f (x) = s i n ω x c o s ω x + c o s^{2} ω x, ω > 0$ ，函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的递增区间，对称轴以及对称中心；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，再将 $g (x)$ 函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 $2$ 倍，得到函数 $ℎ (x)$ 的图象，求函数 $ℎ (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上的值域．

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9、已知向量 $\vec{k} = (1, - 2), \vec{j} = (1, λ)$ ．

(1)、若 $\vec{k} \cdot \vec{j} = - 5$ ，求实数 $λ$ 的值以及 $\vec{k}$ 在 $\vec{j}$ 方向上的投影数量；

(2)、若 $f (x) = {\vec{j}}^{2} \cdot x^{2} + (λ + 2) x + 1$ 对 $\forall x \in R$ 有 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $λ$ 取值范围．

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10、已知复数 $z = \frac{5 (1 - i)}{1 + 2 i} + (2 + i)$ ， $i$ 为虚数单位．

(1)、求 $|z|$ ；

(2)、若复数 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的一个根，求实数 $m$ ， $n$ 的值．

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11、在 $▵ A B C$ 中， $A B = A C = 2$ ， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ， $D$ ， $E$ 为边 $B C$ 上两点，且 $∠ D A E = 45^{\circ}$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{A E}$ 的最小值为．

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12、已知 $\vec{a} = (1, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, t)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则 $t =$ ．

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13、已知 $\vec{m} = (2, - 3), \vec{n} = (2,1)$ ，则下列说法正确的有( )

A、 $(\vec{m} - 2 \vec{n}) ⊥ \vec{n}$ B、 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 可以作为一组基底向量 C、 $c o s ⟨ \vec{m}, \vec{n} ⟩ = \frac{\sqrt{65}}{65}$ D、 $\vec{m}$ 在 $\vec{n}$ 方向上的投影向量的坐标为 $(\frac{2}{3} . \frac{1}{3})$

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14、已知 $s i n α + c o s α = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ， $α \in (0, \frac{π}{4})$ ， $s i n (β - \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ， $β \in (\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ ，则 $c o s (α + 2 β)$ 的值为( )

A、 $- \frac{11 \sqrt{5}}{25}$ B、 $- \frac{11}{25}$ C、 $\frac{11}{25}$ D、 $\frac{11 \sqrt{5}}{25}$

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15、棣莫弗公式 $(c o s x + i \cdot s i n x)^{n} = c o s (n x) + i \cdot s i n (n x) ($ 其中 $i$ 为虚数单位 $)$ 是由法国数学家棣莫弗 $(1667 - 1754)$ 发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 ${(c o s \frac{π}{3} + i \cdot s i n \frac{π}{3})}^{2}$ 在复平面内所对应的点位于( )

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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16、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，且 $\vec{A E} = 2 \vec{E O}$ ，则 $\vec{E D} =$ ( )

A、 $\frac{1}{3} \vec{A D} - \frac{2}{3} \vec{A B}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{A D} + \frac{1}{3} \vec{A B}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{A D} - \frac{1}{3} \vec{A B}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{A B}$

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17、月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是 $▵ A B C$ 的外接圆和以 $A B$ 为直径的圆的一部分，若 $∠ A C B = \frac{2 π}{3}$ ，南北距离 $A B$ 的长大约 $60 \sqrt{3} m$ ，则该月牙泉的面积约为 $($ $) ($ 参考数据： $π \approx 3.14, \sqrt{3} \approx 1.73)$

A、 $572 m^{2}$ B、 $1448 m^{2}$ C、 $1828 m^{2}$ D、 $2028 m^{2}$

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18、已知向量 $\vec{a} = (- 1,3)$ ， $\vec{b} = (2,4)$ ，则 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 的坐标为( )

A、 $(6,8)$ B、 $(- 4,2)$ C、 $(- 6,12)$ D、 $(4,18)$

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19、已知 $m$ 为实数，若复数 $z = (m^{2} - 4) + (m + 2) i$ 为纯虚数，则复数 $z$ 的虚部为( )

A、 $2$ B、 $- 2 i$ C、 $4$ D、 $- 4 i$

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20、如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $B D ⊥ A_{1} C$ ，且 $E$ ， $F$ ， $H$ 分别为线段 $B B_{1}$ ， $A_{1} B$ ， $A D$ 的中点．

(1)、证明： $A_{1} B = A_{1}$ D.

(2)、证明：平面 $E F H / /$ 平面 $A_{1} C D$ ．

(3)、若 $A B = 2 A_{1} B_{1}$ ， $A A_{1} = 1$ ， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，当 $A_{1} B$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成的角最大时，求四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积 $V$ ．

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