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相关试卷

1、若 ${(x \sqrt{x} + \frac{1}{x^{4}})}^{n}$ 的展开式中，第二 $､$ 三 $､$ 四项的二项式系数成等差数列．

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、此展开式中是否有常数项？若存在，请求出该项；若不存在，请说明理由．

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2、若 ${(2 x - a)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6} + a_{7} x^{7}$ ，且 $a_{4} = - 560$ ．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、求 $a_{1} + \frac{a_{2}}{2} + \frac{a_{3}}{2^{2}} + \frac{a_{4}}{2^{3}} + \frac{a_{5}}{2^{4}} + \frac{a_{6}}{2^{5}} + \frac{a_{7}}{2^{6}}$ 的值．

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3、s已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 9$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 3,3]$ 上的最值．

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{3} + x^{2}, x \leq 0 \\ \frac{l n x}{x}, x > 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - m$ 恰有一个实根，则实数 $m$ 的取值范围是

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5、若函数 $f (x) = a x^{3} + 3 x^{2} - x$ 恰好有三个单调区间，则实数 $a$ 的取值范围是．

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6、 ${(2 x - 1)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为 $($ 用数字作答 $)$ ．

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7、已知 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式共有 $13$ 项，则下列说法中正确的有( )

A、所有奇数项的二项式系数和为 $2^{11}$ B、所有项的系数和为 $3^{13}$ C、二项式系数最大的项为第 $7$ 项 D、有理项共 $4$ 项

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8、下列求函数的导数正确的是( )

A、 $[l n (2 x + 1)]^{'} = \frac{1}{2 x + 1}$ B、 ${(x^{3} - 2^{x} + 1)}^{^{'}} = 3 x^{2} - 2^{x} l n 2$ C、 $(x s i n x)^{'} = s i n x + x c o s x$ D、 ${(\frac{l n x}{x})}^{^{'}} = \frac{1 - l n x}{x}$

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9、已知 $a = \frac{e^{2}}{l n 3}$ ， $b = e^{e - 1}$ ， $c = \frac{e^{3}}{2 l n 2}$ ，则有( )

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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10、已知函数 $f (x) = 2 s i n x - e^{x} + e^{- x}$ ，则关于 $x$
不等式 $f (x^{2} - 4) + f (3 x) < 0$ 的解集为( )

A、 $(- 4,1)$ B、 $(- 1,4)$ C、 $(- \infty, - 4) \cup (1, + \infty)$ D、 $[- 1,4]$

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11、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + a^{2}$ 在 $x = - 1$ 处有极值 $8$ ，则 $f (1)$ 等于( )

A、 $- 4$ B、 $16$ C、 $- 4$ 或 $16$ D、 $16$ 或 $18$

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12、在 $(x - 1) (x - y)^{6}$ 的展开式中，含 $x^{4} y^{3}$ 项的系数为( )

A、 $- 20$ B、 $20$ C、 $- 15$ D、 $15$

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13、已知函数 $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$ ，则下列说法正确的是( )

A、 $f (x)$ 的极小值为 $- 2$ B、 $f (x)$ 的极大值为 $- \frac{23}{27}$ C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{1}{3}, 1)$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, 0)$ 上单调递减

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14、为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，我市教育系统选派了 $3$ 名男教师和 $2$ 名女教师去支援新疆教育，要求这 $5$ 名教师被分派到 $3$ 个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排 $1$ 名教师，其中 $2$ 名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有( )

A、 $18$ 种 B、 $36$ 种 C、 $68$ 种 D、 $84$ 种

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15、已知函数 $f (x) = x - l n x - 2$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、函数 $f (x)$ 在区间 $(k, k + 1) (k \in N)$ 上有零点，求 $k$ 的值；

(3)、记函数 $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - b x - 2 - f (x)$ ，设 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是函数 $g (x)$ 的两个极值点，若 $b \geq \frac{3}{2}$ ，且 $g (x_{1}) - g (x_{2}) \geq k$ 恒成立，求实数 $k$ 的最大值．

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16、无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ 其中 $n = a + b + c + d$

$α$

$0.15$

$0.10$

$0.05$

$0.010$

$0.001$

$x_{α}$

$2.072$

$2.706$

$3.841$

$6.635$

$10.828$

(1)、消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表，根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候是否有关：

晴天
雨天
命中
$45$
$30$
不命中
$5$
$20$

(2)、某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为 $\frac{4}{5}$ ，每次投弹是否击中目标相互独立 $.$ 无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为 $\frac{1}{2}$ ，击中目标两次起火点被扑灭的概率为 $\frac{2}{3}$ ，击中目标三次起火点必定被扑灭．
$(i)$ 求起火点被无人机击中次数 $X$ 的分布列及数学期望；
$(i i)$ 求起火点被无人机击中且被扑灭的概率．

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17、为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量 $y ($ 单位：亿元 $)$ 与研发人员增量 $x ($ 人 $)$ 的 $10$ 组数据．现用模型 $① y = b x + a$ ， $② y = c + d \sqrt{x}$ 分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中 $t_{i} = \sqrt{x_{i}}, \bar{t} = \frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10} t_{i}$ ．

$\bar{y}$

$\bar{t}$

$\sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$

$\sum_{i = 1}^{10} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}$

$\sum_{i = 1}^{10} (y_{i} - \bar{y}) (x_{i} - \bar{x})$

$\sum_{i = 1}^{10} (y_{i} - \bar{y}) (t_{i} - \bar{t})$

$7.5$

$2.25$

$82.50$

$4.50$
$12$ $14$

$2.88$

(1)、根据残差图，判断应选择哪个模型； $($ 无需说明理由 $)$

(2)、根据 $(1)$ 中所选模型，求出 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过 $8$ 亿元，研发人员增量至少多少人？ $($ 精确到 $1)$

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18、已知随机变量 $X \sim N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X > 3) = 0.3$ ，则 $P (1 < X \leq 2) =$ ( )

A、 $0.7$ B、 $0.3$ C、 $0.2$ D、 $0.1$

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19、福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港 $.$ 如图，是港区某个泊位一天中 $6$ 时到 $18$ 时的水深变化曲线近似满足函数 $y = 3 s i n (ω x + φ) + k$ ，据此可知，这段时间水深 $($ 单位： $m)$ 的最大值为( )

A、 $5$ B、 $6$ C、 $8$ D、 $10$

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20、对于函数 $y = f (x)$ ，记 $f_{1} (x) = f (x), f_{2} (x) = f (f (x)), ⋯, f_{k} (x) = f_{k - 1} (f (x))$ .已知定义在 $N$ 上的函数 $f (x)$ 满足，当 $x = 4 m + i (m \in N, i = 0, 1, 2, 3)$ 时， $f (x) = \frac{x - i}{4} + i \times 4^{n - 1}$ ，其中 $n$ 是给定的正整数，记集合 $A_{n} = {x \in N ∣ f_{n} (x) = x}$ .

(1)、当 $n = 2$ 时，求 $f_{1} (1), f_{1} (2), f_{2} (1), f_{2} (2)$ ；

(2)、证明：当 $x ⩾ 4^{n}$ 时， $f (x) < x$ ；

(3)、求 $A_{1}, A_{2}$ .

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$α$	$0.15$	$0.10$	$0.05$	$0.010$	$0.001$
$x_{α}$	$2.072$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

$\bar{y}$	$\bar{t}$	$\sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} (y_{i} - \bar{y}) (x_{i} - \bar{x})$	$\sum_{i = 1}^{10} (y_{i} - \bar{y}) (t_{i} - \bar{t})$
$7.5$	$2.25$	$82.50$	$4.50$	$12$ $14$	$2.88$

	晴天	雨天
命中	$45$	$30$
不命中	$5$	$20$