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相关试卷

1、某校辩论赛小组共有 $5$ 名成员，其中 $3$ 名女生 $2$ 名男生，现要从中随机抽取 $2$ 名成员去参加外校交流活动，则抽到 $2$ 名男生的概率为．

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2、在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 、 $N$ 分别是线段 $A_{1} B_{1}$ ， $C D_{1}$ 上的动点，以下结论正确的是( )

A、平面 $A M C_{1} ⊥$ 平面 $C B_{1} D_{1}$ B、若 $M$ 是 $A_{1} B_{1}$ 中点，则异面直线 $A M$ 与 $D D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、三棱锥 $A - B D M$ 的体积为定值 D、 $D N + N B_{1}$ 的长的最小值为 $\sqrt{2} + \sqrt{6}$

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3、已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5}{12} π$ 对称 C、函数 $f (x)$ 图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位可得函数 $y = 2 s i n 2 x$ 的图象 D、若方程 $f (x) = m (m \in R)$ 在 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上有两个不等实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $c o s (x_{1} + x_{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

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4、下列说法正确的是( )

A、在任意四边形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $A D$ ， $B C$ 的中点，则 $\vec{A B} + \vec{D C} = 2 \vec{E F}$ B、复数 $z = \frac{1 + i}{1 - i} (i$ 是虚数单位 $)$ ，则 $z + z^{2} + z^{3} + \dots + z^{2024} = 0$ C、长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 D、直三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积

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5、已知 $A$ 为锐角， $t a n 2 A = \frac{c o s A}{2 - s i n A}$ ， $t a n (A - B) = \frac{2 \sqrt{15}}{15}$ ，则 $t a n B =$ ( )

A、 $- \frac{\sqrt{15}}{17}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{17}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{15}}{17}$ D、 $\frac{2 \sqrt{15}}{17}$

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6、下列说法错误的是( )

A、在 $△ A B C$ 中，若 $a > b$ ，则 $c o s$ $A < c o s$ $B$ B、在锐角 $△ A B C$ 中，不等式 $b^{2} + c^{2} - a^{2} > 0$ 恒成立 C、在 $△ A B C$ 中，若 $C = \frac{π}{4}$ ， $a^{2} - c^{2} = b c$ ，则 $△ A B C$ 为等腰直角三角形 D、在 $△ A B C$ 中，若 $b = 3$ ， $A = 60 °$ ， $△ A B C$ 面积 $S = 3 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 外接圆半径为 $\frac{2 \sqrt{39}}{3}$

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7、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 为空间中的不同直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 为不同平面，则下列为真命题的个数是(    )
$① a ⊥ c$ ， $b ⊥ c$ ，则 $a$ $/ /$ $b$ ；   $② a ⊥ α$ ， $b ⊥ α$ ，则 $a$ $/ /$ $b$ ；
$③ α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α$ $/ /$ $β$ ；   $④ a ⊥ α$ ， $a ⊥ β$ ，则 $α$ $/ /$ $β$ ．

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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8、已知某正四棱锥的高为 $3$ ，体积为 $64$ ，则该正四棱锥的侧面积为( )

A、 $48$ B、 $64$ C、 $80$ D、 $144$

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9、已知向量 $\vec{a} = (- 2,2 \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (1, \sqrt{3})$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为( )

A、 $\frac{1}{4} \vec{a}$ B、 $- \frac{1}{4} \vec{a}$ C、 $- \vec{b}$ D、 $\vec{b}$

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10、设复数 $z$ 满足 $(1 - 2 i) z = 4 + 2 i$ ，则 $\bar{z} =$ ( )

A、 $2 i$ B、 $- 2 i$ C、 $3 i$ D、 $- 3 i$

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11、已知集合 $A = \{x \in Z |x + 1 \geq 0\}$ ， $B = \{x |x^{2} - x - 6 < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ ( )

A、 $\{x \in Z |x \geq - 1\}$ B、 $\{x |- 1 \leq x \leq 3\}$ C、 $\{- 1,0, 1,2, 3\}$ D、 $\{- 1,0, 1,2\}$

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12、为考察药物 $M$ 对预防疾病 $A$ 以及药物 $N$ 对治疗疾病 $A$ 的效果，科研团队进行了大量动物对照试验．根据 $100$ 个简单随机样本的数据，得到如下列联表： $($ 单位：只 $)$
药物 $M$
疾病 $A$
未患病
患病
合计
未服用
$30$
$15$
$45$
服用
$45$
$10$
$55$
合计
$75$
$25$
$100$
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．

$α$

$0.100$

$0.050$

$0.010$

$0.001$

$x_{α}$

$2.706$

$3.841$

$6.635$

$10.828$

(1)、依据 $α = 0.1$ 的独立性检验，分析药物 $M$ 对预防疾病 $A$ 的有效性；

(2)、用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取 $1$ 只，用药物 $N$ 进行治疗．已知药物 $N$ 的治愈率如下：对未服用过药物 $M$ 的动物治愈率为 $\frac{1}{2}$ ，对服用过药物 $M$ 的动物治愈率为 $\frac{3}{4} .$ 若共选取 $3$ 次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的 $3$ 只动物中被治愈的动物个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ ， $P A = P D = A D = A B = 2$ ， $B D = B C = C D = 2 \sqrt{3}$ ， $E$ 为 $P C$ 的中点．

(1)、证明：直线 $B E / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若平面 $P B D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求直线 $A B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值．

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14、某食品的保鲜时间 $y ($ 单位：小时 $)$ 与储存温度 $x ($ 单位： $° C)$ 满足函数关系 $y = e^{k x + b} (e = 2.718 \dots$ 为自然对数的底数， $k$ 、 $b$ 为常数 $) .$ 若该食品在 $0 ° C$ 的保鲜时间是 $192$ 小时，在 $22 ° C$ 的保鲜时间是 $48$ 小时，则该食品在 $33 ° C$ 的保鲜时间是小时．

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15、已知函数 $f (x) = x^{3} - x, g (x) = x^{2} + a$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 1, f (- 1))$ 处
切线也是曲线 $y = g (x)$ 的切线．则 $a$ 的值是

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16、设 $X \sim N (μ_{1}, σ_{1}^{2}), Y \sim N (μ_{2}, σ_{2}^{2})$ ，这两个正态曲线如图所示 $.$ 则( )

A、 $μ_{1} > μ_{2}$ B、 $σ_{1} < σ_{2}$ C、 $P (X \geq μ_{2}) > P (X \geq μ_{1})$ D、 $P (Y \leq σ_{1}) < P (Y \leq σ_{2})$

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17、函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0, ω > 0)$ 的图象如图所示，则 $f (9) =$ ( )

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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18、已知函数 $f (x) = (a - 1) l n x - \frac{1}{2} x^{2} + x$ ， $a \in R$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与直线 $y = 2 x$ 平行，证明： $f (x) \leq l n 4$ ；

(2)、设 $g (x) = \frac{2 x - a}{x} - \frac{1}{2} x^{2}$ ，若对 $\forall x \in (1, + \infty)$ ，均有 $f (x) + 4 > g (x)$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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19、已知函数 $f (x) = a x - l n x - 1 (a \in R)$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有一个零点，求 $a$ 的取值范围．

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20、已知 $0$ ， $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ ， $6$ 共 $7$ 个数字．

(1)、可以组成多少个没有重复数字的四位数？

(2)、可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？

(3)、可以组成多少个没有重复数字且能被 $5$ 整除的四位数？ $($ 结果用数字作答 $)$

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药物 $M$	疾病 $A$
药物 $M$	未患病	患病	合计
未服用	$30$	$15$	$45$
服用	$45$	$10$	$55$
合计	$75$	$25$	$100$

$α$	$0.100$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$x_{α}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$10.828$