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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x}}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间 $;$

(2)、证明 $x \in (0, + \infty)$ 时， $x - l n x \geq \frac{e^{x - 1}}{x} \cdot f (\frac{e^{x - 2}}{x});$

(3)、若对于任意的 $x \in (0, + \infty)$ ，关于 $x$ 的不等式 $e^{x - 2} \geq 2 m x^{2} - x - x l n x$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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2、

(1)、如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置 $0$ 出发，每次向左或向右移动一个单位的概率都为 $\frac{1}{2}$ ，设移动 $n$ 次后质点位于位置 $X_{n}$ ．
$($ Ⅰ $)$ 求随机变量 $X_{4}$ 的概率分布列及 $E (X_{4});$
$($ Ⅱ $)$ 求 $E (X_{n});$

(2)、若轨道上只有 $0$ ， $1$ ， $2 \dots$ ， $n$ 这 $n + 1$ 个位置 $.$ 质点向左或右移动一个单位的概率都为 $\frac{1}{2}$ ，若在 $0$ 处，则只能向右移动 $.$ 现有一个质点从 $0$ 出发，求它首次移动到 $n$ 的次数的期望．

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3、已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} = 6$ ， $S_{5} = 45$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n} = \frac{1}{2} (3^{n} - 1)$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式 $;$

(2)、设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = \{\begin{array}{l} 0, n 为奇数, \\ b_{\frac{n}{2}} n 为偶数, \end{array}$ 求 $a_{1} c_{2 n} + a_{2} c_{2 n - 1} + \dots + a_{2 n} c_{1} (n \in N^{*}) .$

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4、树人中学对某次高三学生的期末考试成绩进行统计，从全体考生中随机抽取48名学生的数学成绩(x)和物理成绩(y)，得到一些统计数据： $\sum_{i = 1}^{48} x_{i}$ =5280， $\sum_{i = 1}^{48} y_{i}$ =3552， $\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{48} (x_{i} - \bar{x})^{2}}{\sum_{i = 1}^{48} (y_{i} - \bar{y})^{2}}}$ = $\frac{11}{6}$ ，其中 $x_{i}$ ， $y_{i}$ 分别表示这48名同学的数学成绩和物理成绩，i=1，2， $\dots$ ， 48，y与x的相关系数r=0.77.
附：①回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{a}$ + $\hat{b}$ x中： $\hat{b}$ = $\frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}$ ， $\hat{a}$ = $\bar{y}$ - $\hat{b} \bar{x}$
②相关系数r= $\frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2} \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - \bar{y})^{2}}}$
③若 $η$ ~N( $μ$ ， $σ^{2}$ )，则P( $μ$ - $σ \leq η \leq μ$ + $σ$ ) $\approx$ 0.68，P( $μ$ -2 $σ \leq η \leq μ$ +2 $σ$ ) $\approx$ 0.95
④ $\frac{1}{48} \sum_{i = 1}^{48} y_{i}^{2}$ - ${\bar{y}}^{2}$ =120， $\sqrt{120} \approx$ 10.95

(1)、求y关于x的线性回归方程；

(2)、从概率统计规律看，本次考试该校高三学生的物理成绩 $ξ$ 服从正态分布N( $μ$ ， $σ^{2}$ )，用样本平均数 $\bar{y}$ 作为 $μ$ 的估计值，用样本方差 $s^{2}$ 作为 $σ^{2}$ 的估计值.试求该校高三共1000名考生中，物理成绩位于区间(63.05，95.9)的人数Z的数学期望.

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5、已知集合 $M = {x | \frac{4 - x}{x - 2} \geq 0}$ ，非空集合 $N = {x | 1 - m < x < 2 m - 3}$ ．

(1)、若 $m = 3$ 时，求 $M \cap N;$

(2)、是否存在实数 $m$ ，使得 $x \in ∁_{R} M$ 是 $x \in ∁_{R} N$ 的必要不充分条件 $?$ 若存在，求实数 $m$ 的取值范围 $;$ 若不存在 $.$ 请说明理由．

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6、设 $A$ ， $B$ 是一个随机试验中的两个事件，且 $P (\bar{A}) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ， $P (\bar{A} B + A \bar{B}) = \frac{7}{12}$ ，则 $P (\bar{A} | B) =$ ．

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7、 $(x^{2} - x + y)^{6}$ 的展开式中 $x^{5} y^{3}$ 的系数为 $. ($ 用数字作答 $)$

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8、若函数 $f (x) = \frac{l n x}{e^{x}}$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，则 $f^{'} (1)$ 的值为．

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9、冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列 ${x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}$ 从左往右，依次对相邻两个元素 ${x_{k}, x_{k + 1}} (k = 1$ ， $2$ ， $\dots$ ， $n - 1)$ 比较大小，若 $x_{k} > x_{k + 1}$ ，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止 $.$ 例如：对于序列 ${2,1, 4,3}$ 进行冒泡排序，首先比较 ${2,1}$ ，需要交换 $1$ 次位置，得到新序列 ${1,2, 4,3}$ ，然后比较 ${2,4}$ ，无需交换位置，最后比较 ${4,3}$ ，又需要交换 $1$ 次位置，得到新序列 ${1,2, 3,4}$ 最终完成了冒泡排序，同样地，序列 ${1,4, 2,3}$ 需要依次交换 ${4,2}$ ， ${4,3}$ 完成冒泡排序 $.$ 因此， ${2,1, 4,3}$ 和 ${1,4, 2,3}$ 均是交换 $2$ 次的序列 $.$ 现在对任一个包含 $n$ 个不等实数的序列进行冒泡排序 $(n \geq 3)$ ，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为 $a_{n}$ ，只需要交换 $1$ 次的序列个数为 $b_{n}$ ，只需要交换 $2$ 次的序列个数为 $c_{n}$ ，则( )

A、序列 ${2,7, 1,8}$ 是需要交换 $3$ 次的序列 B、 $a_{n} = \frac{n (n - 1)}{2}$ C、 $b_{n} = n - 1$ D、 $c_{5} = 9$

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10、已知 $a < b < c (a, b, c \in R)$ ，且 $a + 2 b + 3 c = 0$ ，则( )

A、 $a < 0 < c$ B、 $\exists a$ ， $c$ 使得 $a^{2} - 25 c^{2} = 0$ C、 $a + c$ 可能大于 $0$ D、 $\frac{b + 2 c}{a + c} < - \frac{1}{2}$

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11、已知变量 $x$ 和变量 $y$ 的一组成对样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1,2, \dots, n)$ 的散点落在一条直线附近， $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}$ ， $\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y_{i}$ ，相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - \bar{y})^{2}}}$ ，线性回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a} (\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}})$ ，则( )

A、当 $r$ 越大时，成对数据样本相关性越强 B、当 $r > 0$ 时， $\hat{b} > 0$ C、当 $x_{n + 1} = \bar{x}$ ， $y_{n + 1} = \bar{y}$ 时，成对样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1,2, \dots, n, n + 1)$ 的相关系数 $r^{'}$ 满足 $r^{'} = r$ D、当 $x_{n + 1} = \bar{x}$ ， $y_{n + 1} = \bar{y}$ 时，成对样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1,2, \dots, n, n + 1)$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{d} x + \hat{c}$ 满足 $\hat{d} = \hat{b}$

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12、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = x e^{- x^{2} + a x} (a \in R)$ ，设 $f (x)$ 的极大值和极小值分别为 $m$ ， $n$ ，则 $m n$ 的取值范围是( )

A、 $(- \infty, - \frac{e}{2}]$ B、 $(- \infty, - \frac{1}{2 e}]$ C、 $[- \frac{e}{2}, 0)$ D、 $[- \frac{1}{2 e}, 0)$

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13、某医院要派 $2$ 名男医生和 $4$ 名女医生去 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个地方义诊，每位医生都必须选择 $1$ 个地方义诊，要求 $A$ ， $B$ ， $C$ 每个地方至少有一名医生，且都要有女医生，同时男医生甲不去 $A$ 地，则不同的安排方案为( )

A、 $120$ 种 B、 $144$ 种 C、 $168$ 种 D、 $216$ 种

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14、定义“等方差数列” $:$ 如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差 $.$ 设数列 ${a_{n}}$ 是由正数组成的等方差数列，且方公差为 $2$ ， $a_{13} = 5$ ，则数列 $\{\frac{1}{a_{n} + a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为( )

A、 $\frac{\sqrt{2 n + 1} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2 n - 1} - 1}{2}$ C、 $\sqrt{2 n + 1} - 1$ D、 $\sqrt{2 n - 1} - 1$

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15、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且满足 $\frac{3}{x} + \frac{4}{y} = 1$ ，则( )

A、 $x y$ 的最小值为 $48$ B、 $x y$ 的最小值为 $\frac{1}{48}$ C、 $x y$ 的最大值为 $48$ D、 $x y$ 的最大值为 $\frac{1}{48}$

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16、某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这四个变量的关系，随机抽查 $52$ 名中学生，得到如下 $4$ 个列联表，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )
性别
成绩
合计
及格
不及格
男
$14$
$6$
$20$
女
$22$
$10$
$32$
合计
$36$
$16$
$52$
性别
视力
合计
及格
不及格
男
$4$
$16$
$20$
女
$12$
$20$
$32$
合计
$16$
$36$
$52$
性别
智商
合计
及格
不及格
男
$8$
$12$
$20$
女
$8$
$24$
$32$
合计
$16$
$36$
$52$
性别
阅读量
合计
及格
不及格
男
$14$
$6$
$20$
女
$2$
$30$
$32$
合计
$16$
$36$
$52$

A、成绩 B、视力 C、智商 D、阅读量

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17、若随机变量X~B(n ， 0.4)，且D(X)=1.2，则P(X=4)的值为（）

A、2 $\times 0 . 4^{4}$ B、3 $\times 0 . 4^{4}$ C、2 $\times 0 . 6^{4}$ D、3 $\times 0 . 6^{4}$

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18、设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则“ $l g (a + b) > 0$ ”是“ $l g (a b) > 0$ ”的( )

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、已知集合 $A = {x | \frac{x}{x - 3} < 0}$ ， $B = {x | {l o g}_{3} (x - 1) < 1}$ ，则 $A \cup B =$ ( )

A、 ${x | 0 < x < 3}$ B、 ${x | 1 < x < 3}$ C、 ${x | 0 < x < 4}$ D、 ${x | 1 < x < 4}$

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20、已知双曲线： $x^{2} - y^{2} = 1$ ，点 $M$ 为双曲线 $C$ 右支上一点， $A$ 、 $B$ 为双曲线 $C$ 的左、右顶点，直线 $A M$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，点 $Q$ 在 $x$ 轴正半轴上，点 $E$ 在 $y$ 轴上．

(1)、若点 $M (2, \sqrt{3})$ ， $Q (2,0)$ ，过点 $Q$ 作 $B M$ 的垂线 $l$ 交该双曲线 $C$ 于 $S$ ， $T$ 两点，求 $▵ O S T$ 的面积；

(2)、若点 $M$ 不与 $B$ 重合，从下面 $① ② ③$ 中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
$① \vec{O D} = \vec{D E}$ ； $② B M ⊥ E Q$ ； $③ |O Q| = 2 .$ 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

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性别	成绩		合计
性别	及格	不及格	合计
男	$14$	$6$	$20$
女	$22$	$10$	$32$
合计	$36$	$16$	$52$

性别	视力		合计
性别	及格	不及格	合计
男	$4$	$16$	$20$
女	$12$	$20$	$32$
合计	$16$	$36$	$52$

性别	智商		合计
性别	及格	不及格	合计
男	$8$	$12$	$20$
女	$8$	$24$	$32$
合计	$16$	$36$	$52$

性别	阅读量		合计
性别	及格	不及格	合计
男	$14$	$6$	$20$
女	$2$	$30$	$32$
合计	$16$	$36$	$52$