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相关试卷

1、如图，正三棱柱的所有棱长都为 $2$ ， $D$ 为 $C C_{1}$ 中点．

(1)、求证： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(2)、求二面角 $A - A_{1} D - B$ 的正弦值；

(3)、求点 $C$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离．

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2、某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分 $A$ ， $B$ ， $C$ 三大类，其中 $A$ 类有 $3$ 个项目，每项需花费 $2$ 小时， $B$ 类有 $3$ 个项目，每项需花费 $3$ 小时， $C$ 类有 $2$ 个项目，每项需花费 $1$ 小时．要求每位员工从中随机选择 $3$ 个项目，每个项目的选择机会均等．

(1)、求小张在三类中各选 $1$ 个项目的概率；

(2)、设小张所选 $3$ 个项目花费的总时间为 $X$ 小时，求 $X$ 的分布列．

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3、若函数 $f (x) = (x^{2} - m x + 2) e^{x}$ 在 $[- \frac{1}{2}, 1]$ 上存在单调递减区间，则 $m$ 的取值范围是．

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4、若随机变量 $ξ$ 的数学期望和方差分别为 $E (ξ)$ ， $D (ξ)$ ，则对于任意 $ε > 0$ ，不等式 $P (|ξ - E (ξ)| \geq ε) \leq \frac{D (ξ)}{ε^{2}}$ 成立 $.$ 在 $2023$ 年湖南省高三九校联考中，数学科考试满分 $150$ 分，某校高三共有 $500$ 名学生参加考试，全体学生的成绩 $ξ \sim N (80, 4^{2})$ ，则根据上述不等式，可估计分数不低于 $100$ 分的学生不超过人 $.$

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = 3^{n + 1} (n \in N^{*})$ ， $a_{1} = 3$ ，则 $a_{n} =$ ．

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6、若 $(x - 1)^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ，则( )

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{3} = 20$ C、 $2 a_{1} + 4 a_{2} + 8 a_{3} + 16 a_{4} + 32 a_{5} + 64 a_{6} = 0$ D、 $|a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6}| = |a_{1} + a_{3} + a_{5}|$

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7、已知 $P (A) = \frac{1}{5}$ ， $P (B | A) = \frac{1}{4} .$ 若随机事件 $A$ ， $B$ 相互独立，则( )

A、 $P (B) = \frac{1}{3}$ B、 $P (A B) = \frac{1}{20}$ C、 $P (\bar{A} | B) = \frac{4}{5}$ D、 $P (A + \bar{B}) = \frac{4}{5}$

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8、如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $A_{1} C_{1}$ 的中点， $Q$ 为线段 $B C_{1}$ 上的动点，则下列结论正确的是( )

A、存在点 $Q$ ，使得 $P Q / / B D$ B、存在点 $Q$ ，使得 $P Q ⊥$ 平面 $A B_{1} C_{1} D$ C、三棱锥 $Q - A P D$ 的体积是定值 D、存在点 $Q$ ，使得 $P Q$ 与 $A D$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$

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9、下列说法正确的有 $()$ 个
$①$ 已知一组数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{10}$ 的方差为 $3$ ，则 $x_{1} + 2, x_{2} + 2, x_{3} + 2, \dots, x_{10} + 2$ 的方差也为 $3$ ．
$②$ 对具有线性相关关系的变量 $x, y$ ，其线性回归方程为 $\hat{y} = 0.3 x - m$ ，若样本点的中心为 $(m, 2.8)$ ，则实数 $m$ 的值是 $4$ ．
$③$ 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，若 $P (X > - 1) + P (X \geq 5) = 1$ ，则 $μ = 2$ ．
$④$ 已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (n, \frac{1}{3})$ ，若 $E (3 X + 1) = 6$ ，则 $n = 6$ ．

A、 $0$ 个 B、 $1$ 个 C、 $2$ 个 D、 $3$ 个

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10、函数 $f (x) = \frac{l n | x | - x^{2} + 2}{x}$ 的图象大致为( )

A、 B、 C、 D、

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11、甲、乙、丙、丁、戊 $5$ 名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区 $.$ 则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在 $A$ 小区的概率为( )

A、 $\frac{193}{243}$ B、 $\frac{100}{243}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{9}$

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12、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = - 1, a_{4} = 8$ ，则公差 $d =$ ( )

A、 $4$ B、 $3$ C、 $- 4$ D、 $- 3$

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13、求以 $A (1, - 1)$ 为圆心，且经过点 $B (0,1)$ 的圆的一般方程( )

A、 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 7 = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - 7 = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - 3 = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y + 3 = 0$

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14、已知直线 $l_{1} : x + y = 0$ ， $l_{2} : a x + b y + 1 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a + b =$ ( )

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

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15、对于函数 $f (x)$ ， $g (x)$ ，若存在实数 $m$ ， $n$ ，使得函数 $ℎ (x) = m f (x) + n g (x)$ ，则称 $ℎ (x)$ 为 $f (x)$ ， $g (x)$ 的“合成函数”．

(1)、已知 $f (x) = x - 3$ ， $g (x) = 3 - 2 x$ ，试判断 $ℎ (x) = x - 6$ 是否为
$f (x)$ ， $g (x)$ 的“合成函数”？若是，求实数 $m$ ， $n$ 的值；若不是，说明理由；

(2)、已知 $f (x) = s i n (x - \frac{π}{4})$ ， $g (x) = c o s x$ ， $ℎ (x)$ 为 $f (x)$ ， $g (x)$ 的“合成函数”，且 $m = 1$ ， $n = \sqrt{2}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x + \frac{π}{4}) \cdot g (x) + k ℎ (x) = 0$ 在 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 上有解，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、已知 $f (x) = x$ ， $g (x) = \frac{3}{x}$ ， $ℎ (x)$ 为 $f (x)$ ， $g (x)$ 的“合成函数” $($ 其中 $m > 0, n > 0)$ ， $ℎ (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，当且仅当 $x = 3$ 时， $ℎ (x)$ 取得最小值 $6 .$ 若对任意正实数 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} = 2$ ，不等式 $ℎ (x_{1}) + ℎ (x_{2}) \geq p$ 恒成立，求实数 $p$ 的最大值．

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16、如图，已知等腰梯形 $A B C D$ 中， $A D$ $/ /$ $B C$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} B C = 2$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点， $A E \cap B D = M$ ，将 $△ B A E$ 沿着 $A E$ 翻折成 $△ B_{1} A E$ ，使 $B_{1} M ⊥$ 平面 $A E C D$ ．

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $B_{1} D M$ ；

(2)、求 $B_{1} E$ 与平面 $B_{1} M D$ 所成的角；

(3)、在线段 $B_{1} C$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $M P$ $/ /$ 平面 $B_{1} A D$ ，若存在，求出 $\frac{B_{1} P}{B_{1} C}$ 的值；若不存在，说明理由．

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17、某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角 $△ A B C$ 和以 $B C$ 为直径的半圆拼接而成，点 $P$ 为半圆上一点 $($ 异于 $B$ ， $C)$ ，点 $H$ 在线段 $A B$ 上，且满足 $C H ⊥ A B .$ 已知 $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 1 d m$ ，设 $∠ A B C = θ$ ．

(1)、为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足 $∠ A B C = ∠ P C B$ ，且 $C A + C P$ 达到最大．当 $θ$ 为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；

(2)、为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足 $∠ P B A = 60 °$ ，且 $C H + C P$ 达到最大．当 $θ$ 为何值时， $C H + C P$ 取得最大值，并求该最大值．

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18、文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者 $.$ 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取 $100$ 份作为样本，将样本的成绩 $($ 满分 $100$ 分，成绩均为不低于 $40$ 分的整数 $)$ 分成六段： $[40,50), [50,60)$ ， $\dots$ ， $[90,100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、求样本成绩的第 $75$ 百分位数；

(3)、已知落在 $[50,60)$ 的平均成绩是 $54$ ，方差是 $7$ ，落在 $[60,70)$ 的平均成绩为 $66$ ，方差是 $4$ ，求两组成绩的总平均数 $\bar{z}$ 和总方差 $s^{2}$ ．

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19、在 $△ A B C$ 中， $B C = 6$ ， $∠ A C B = 60 °$ ，边 $A B$ ， $B C$ 上的点 $M$ ， $N$ 满足 $\vec{B M} = \frac{1}{3} \vec{M A}$ ， $\vec{B N} = 2 \vec{N C}$ ， $P$ 为 $A C$ 中点．

(1)、设 $\vec{N M} = λ \vec{C B} + μ \vec{C A}$ ，求实数 $λ$ ， $μ$ 的值；

(2)、若 $\vec{B P} \cdot \vec{N M} = - 8$ ，求边 $A C$ 的长．

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20、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $C = 60 °$ ， $c = 7$ ，若 $a - b = 3$ ， $D$ 为 $A B$ 中点，则 $C D =$ ．

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