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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D, C D$ $∥$ $A B$ ， $∠ A B C = 9 0^{∘}, A B = 4, P A = P D = C D = B C = 2$ .

(1)、若点 $M$ 为棱 $A B$ 的中点，求二面角 $A - P D - M$ 的余弦值；

(2)、若 $\vec{D N} = λ \vec{D P} (λ > 0)$ ，设直线 $B N$ 与平面 $A B C D$ ，平面 $P A D$ 所成的角分别为 $α, β$ ，求 $s i n α + s i n β$ 的最大值.

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2、为加快推动旅游业复苏，进一步增强市民旅游消费意愿，某景区推出针对中､高考生的优惠活动：凭中､高考准考证可优惠购票，并可以八折购买“金榜题名”文创雪糕.该景区从中､高考生游客中随机抽取200人了解他们对这项活动的满意度，统计得到 $2 \times 2$ 列联表如下：

不满意
满意
合计
高考生
60
40
100
中考生
35
65
100
合计
95
105
200
附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$P (x^{2} ⩾ k)$
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k$
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、判断能否有 $99.9 %$ 的把握认为满意度与考生类型有关？

(2)、现从高考生的样本中用分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步的访谈，求这3人中不满意的人数 $X$ 的概率分布及数学期望.

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3、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{x^{2} - a x} + a x - 1$ ，若对任意 $x \in (- ∞, - 1], f (x) ⩽ 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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4、已知随机变量 $X \sim N (2, σ^{2})$ ，若 $P (X ⩾ 0) = 0.7, P (2 ⩽ X ⩽ m) = 0.2$ ，则 $m =$ .

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5、已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + \frac{3 a - 2}{x}, x ⩾ 1, \\ (a + 2) x - 4, x < 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{2}{3}, 1]$ B、 $[- \frac{1}{2}, 1]$ C、 $(- 2, 1]$ D、 $(- 2, - \frac{1}{2}]$

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6、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $D D_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $B D_{1} ‖$ 平面 $A E C$ ；

(2)、 $C C_{1}$ 上是否存在一点 $F$ ，使得平面 $A E C ‖$ 平面 $B F D_{1}$ ？若存在，请确定点 $F$ 的位置；若不存在，请说明理由．

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7、某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究．

(1)、小王获得了以下信息：
$a .$ 教学楼 $A B$ 和体育馆 $C D$ 之间有一条笔直的步道 $B D$ ；
$b .$ 在步道 $B D$ 上有一点 $M$ ，测得 $M$ 到教学楼顶 $A$ 的仰角是 $45^{\circ}$ ，到体育馆楼顶 $C$ 的仰角是 $30^{\circ}$ ；
$c .$ 从体育馆楼顶 $C$ 测教学楼顶 $A$ 的仰角是 $15^{\circ}$ ；
$d .$ 教学楼 $A B$ 的高度是 $20$ 米．
请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度 $C D$ ．

(2)、小李获得了以下信息：
$a .$ 体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是 $4$ 米；
$b .$ 大屏幕的高度 $P Q$ 是 $2$ 米；
$c .$ 当观众所站的位置 $N$ 到屏幕上下两端 $P$ ， $Q$ 所张的角 $∠ P N Q$ 最大时，观看屏幕的效果最佳．
请帮助小李完成任务二：求步道 $B D$ 上观看屏幕效果最佳地点 $N$ 的位置．

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8、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点， $F$ 为棱 $D_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $E 、 F 、 B 、 D$ 四点共面；

(2)、求异面直线 $E F$ 与 $A D_{1}$ 所成角的大小．

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9、 $▵ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 b c o s A = c c o s A + a c o s C$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 4$ ，求 $▵ A B C$ 面积的最大值．

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10、已知 $\vec{a} = (1,0)$ ， $\vec{b} = (2,1)$ ．

(1)、当 $k$ 为何值时， $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 垂直？

(2)、若 $\vec{A B} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ ， $\vec{B C} = \vec{a} + m \vec{b}$ 且 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点共线，求 $m$ 的值．

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11、已知 $s i n θ = \frac{4}{5}$ ， $θ$ 为第二象限角．

(1)、求 $s i n 2 θ$ 的值；

(2)、求 $c o s (θ - \frac{π}{6})$ 的值．

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12、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $A$ 为锐角， $t a n B c o s C = 1 - s i n C$ ， $△ A B C$ 的面积为 $2$ ，则 $△ A B C$ 的周长的最小值为．

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13、已知角 $α$ 的终边经过点 $(1,2 \sqrt{2})$ ，则 $s i n (2 α + \frac{π}{2}) =$

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14、已知向量 $\vec{a} = (y, - 2), \vec{b} = (1,3)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $y =$ ．

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15、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，下列说法正确的是( )

A、若 $s i n A > s i n B$ ，则 $A > B$ B、若 $a^{2} + b^{2} - c^{2} > 0$ ，则 $△ A B C$ 一定是锐角三角形 C、若 $a c o s B - b c o s A = c$ ，则 $△ A B C$ 一定为直角三角形 D、若 $a c o s A = b c o s B$ ，则 $△ A B C$ 一定是等腰三角形

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16、已知函数 $f (x) = - 2 s i n (2 x + φ) (- π < φ < 0)$ ，将函数 $f (x)$ 图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后所得的函数图象过点 $P (0,2)$ ，则函数 $f (x) = - 2 s i n (2 x + φ)$ 满足( )

A、 $(\frac{7 π}{12}, 0)$ 是 $f (x)$ 的一个对称中心 B、在区间 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上单调递增 C、 $x = - \frac{π}{6}$ 是 $f (x)$ 的一条对称轴 D、在区间 $[- \frac{5 π}{6}, - \frac{2 π}{3}]$ 上单调递减

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17、下列各组向量中，能作为基底的是( )

A、 $\vec{e_{1}} = (0,0)$ ， $\vec{e_{2}} = (1, - 2)$ B、 $\vec{e_{1}} = (2, - 3)$ ， $\vec{e_{2}} = (\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ C、 $\vec{e_{1}} = (3,5)$ ， $\vec{e_{2}} = (6,10)$ D、 $\vec{e_{1}} = (- 1,2)$ ， $\vec{e_{2}} = (5,7)$

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18、设 $a, b$ 为两条不同的直线， $α, β$ 为两个不同的平面，则下列命题正确的是( )

A、若 $a / / α, b / / α$ ，则 $a / / b$ B、若 $a / / α, b / / α, a \subset β, b \subset β$ ，则 $β / / α$ C、若 $α / / β, a \subset α$ ，则 $a / / β$ D、若 $α / / β, b / / α$ ，则 $b / / β$

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19、如图， $▵ A O B$ 的斜二测画法的直观图是腰长为 $3 \sqrt{2}$ 的等腰直角三角形， $y^{'}$ 轴经过 $A^{'} B^{'}$ 的中点，则 $|A B| =$ ( )

A、 $6$ B、 $3 \sqrt{6}$ C、 $12$ D、 $6 \sqrt{6}$

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20、函数 $y = c o s (x + \frac{π}{3}), x \in [- \frac{π}{2}, 0]$ 的值域是( )

A、 $[\frac{1}{2}, 1]$ B、 $[\frac{\sqrt{3}}{2}, 1]$ C、 $[\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}]$ D、 $[- \frac{\sqrt{3}}{2}, 1]$

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	不满意	满意	合计
高考生	60	40	100
中考生	35	65	100
合计	95	105	200

$P (x^{2} ⩾ k)$	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k$	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828