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相关试卷

1、已知在多面体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} / / A B$ ， $B_{1} C_{1} / / B C$ ， $A B = 2 A_{1} B_{1}$ .

(1)、若 $A_{1}$ ， $A$ ， $C$ ， $C_{1}$ 四点共面，求证：多面体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 为棱台；

(2)、在（1）的条件下，平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ， $A A_{1} ⊥ A B$ ， $B_{1} C_{1} = 2 A_{1} B_{1} = 4$ ， $A A_{1} = 2$ ，且 $∠ B_{1} B C = \frac{3 π}{4}$ .
①求多面体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积；
②求二面角 $A - C C_{1} - B$ 正切值.

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2、在以下三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答.
① $2 a - b = 2 c cos B$ ；② $2 c sin A = a tan C$ ；③ $△ A B C$ 的面积为 $\frac{1}{2} c (a sin A + b sin B - c sin C)$ （如多选，则按选择的第一个记分）
问题：在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值；

(3)、在（2）的条件下，若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $2 a - b$ 的取值范围.

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3、已知角 $α$ ， $β$ 满足 $sin α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $c o s β = - \frac{4}{5}$ ，且 $- \frac{π}{2} < α < \frac{π}{2}$ ， $0 < β < π$ .

(1)、求 $sin (2 α - β)$ 的值；

(2)、求 $α + \frac{β}{2}$ 的大小.

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4、在直角坐标系 $x O y$ 中，已知向量 $\vec{O A} = (1, - 1)$ ， $\vec{O B} = (3, 1)$ ， $\vec{O C} = (m, 3)$ （其中 $m \in R$ ）， $D$ 为坐标平面内一点.

(1)、若 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线，求 $m$ 的值；

(2)、若向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，求 $m$ 的值；

(3)、若四边形 $A B C D$ 为矩形，求 $D$ 点坐标.

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5、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中.

(1)、求证： $A B //$ 平面 $A_{1} B_{1} C D$ ；

(2)、求证： $A C_{1} ⊥ B_{1} C$ .

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6、某校高一学生对学校附近的一段近似直线型高速公路进行实地测绘（如图），结合地形，他们选择了 $C$ ， $D$ 两地作为测量点.通过测量得知： $C$ ， $D$ 两地相距300米， $A$ ， $B$ 分别位于 $C$ 地正东和东偏南 $37 ^{\circ}$ 方向上； $C$ ， $A$ 和 $B$ 分别位于 $D$ 地的北偏东 $51 ^{\circ}$ ， $81 ^{\circ}$ 和南偏东 $63 ^{\circ}$ 方向上.则 $A$ ， $C$ 两地之间的距离为米；若一辆汽车通过高速公路 $A B$ 段用时约50秒，则该辆汽车的车速约为千米/小时.
（参考数据： $sin 9^{\circ} \approx \frac{3}{20}$ ， $sin 10^{\circ} \approx \frac{17}{100}$ ， $sin 66^{\circ} \approx \frac{68}{75}$ ， $cos 37^{\circ} \approx \frac{4}{5}$ ）

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7、将正方形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折叠成直二面角 $B - A C - D$ ，则此时 $B D$ 与平面 $A B C$ 所成角的大小是.

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8、设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是夹角为 $60 ^{\circ}$ 的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量 $p$ ，存在唯一有序实数对 $(λ, μ)$ ，使得 $\vec{p} = λ \vec{e_{1}} + μ \vec{e_{2}}$ ，我们称有序数对 $(λ, μ)$ 为向量 $\vec{p}$ 的“仿射坐标”.若向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的“仿射坐标”分别为 $(1, 2)$ ， $(m, - 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $|\vec{a}| = \sqrt{7}$ B、若 $m = 3$ ，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 的“仿射坐标”为 $(4 ， 1)$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m = 2$ D、若 $a / / b$ ，则 $m = - \frac{1}{2}$

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9、已知复数 $z = 3 + 4 i$ （ $i$ 是虚数单位）， $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，下列说法中正确的是（）

A、 $z$ 的虚部为4； B、 $\bar{z} = 3 - 4 i$ ； C、 $z^{2} = {|z|}^{2}$ ； D、 $2 + i$ 是 $z$ 的一个平方根

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10、已知 $α$ ， $β$ 是不同平面， $m$ ， $n$ ， $l$ 是不同直线，则“ $m / / n$ ”的充分条件是（）

A、 $m ⊥ l$ ， $n ⊥ l$ ； B、 $m / / α$ ， $m \subset β$ ， $α \cap β = n$ ； C、 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $α / / β$ ； D、 $α / / β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$

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11、在 $△ A B C$ 中，点 $M$ ， $N$ 在边 $B C$ 上，且满足： $\vec{A M} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$ ， $\frac{A B}{A C} = \frac{B N}{N C}$ ，若 $A = \frac{2 π}{3}$ ， $A M = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $A N = \frac{2}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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12、设 $α$ 为锐角，若 $cos (α + \frac{π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $cos (2 α + \frac{π}{6})$ 的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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13、已知向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 满足： $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，且 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}| = 1$ ，则三角形 $A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形

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14、已知 $tan (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{4}$ ， $tan (α + β) = \frac{2}{5}$ ，则 $tan (β + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{3}{22}$ B、 $\frac{13}{18}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{13}{22}$

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15、如图，将一个圆柱4等份切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了20，则原圆柱的侧面积是（）

A、 $10 π$ B、 $20 π$ C、 $100 π$ D、 $200 π$

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16、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足： $\vec{a} = (1, 0)$ ， $|\vec{b}| = 4$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $|3 \vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{7}$ B、5 C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{5}$

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17、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为棱 $A B$ ， $A D$ 中点，则 $E F$ 与 $B C_{1}$ 所成角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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18、在复平面内，复数 $z = \frac{2}{1 - i}$ （ $i$ 为虚数单位）对应的点 $Z$ 位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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19、如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中， $B C ⊥$ 平面 $A B E$ ， $B C / / A D$ ，且 $A D = 2 B C = 2$ ， $F$ 是 $D E$ 的中点．

(1)、证明： $D A ⊥ C F$ ；

(2)、若 $B A = B E = 2$ ，直线 $C F$ 与直线 $D B$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ．
（ⅰ）求直线 $D E$ 与平面 $A B E$ 所成角；
（ⅱ）求二面角 $E - D C - B$ 的余弦值．

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20、已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{3}) + cos (2 x + \frac{π}{6}) - 2 \sin x \cos x .$

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及对称轴方程；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $y = g (x)$ 在[0，2π]上的单调递减区间.

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