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相关试卷

1、等比数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = \frac{1}{64}$ ，公比为 $q$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \log_{0.5} a_{n}$ （ $n$ 是正整数），若当且仅当 $n = 4$ 时， $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $B_{n}$ 取得最大值，则 $q$ 取值范围是（）

A、 $(3, 2 \sqrt{3})$ B、 $(3, 4)$ C、 $(2 \sqrt{2}, 4)$ D、 $(2 \sqrt{2}, 3 \sqrt{2})$

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2、已知函数 $f (x) = e^{x} \cdot (\frac{1}{x} - \ln x + a)$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线与直线 $y = - \frac{1}{e} x$ 垂直，求a的值及切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在定义域内单调递减，求a的取值范围.

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3、定义 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} - a_{n} + 1 (n \in Z^{+})$ 那么以下说法正确的有（填序号）．
A． $a_{5} = 1809$
B．除了 $a_{1}$ 以外， $a_{n}$ 都是奇数
C．对于任意的n， $\frac{1}{a_{1}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} < 1$
D．以 $2 a_{n} - 1$ ， $2 a_{n + 1} - 2$ ， $2 a_{n + 1} - 1$ 为三边的三角形是直角三角形

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4、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \{\begin{cases} 3 n - 4, n \in [1, 10] \\ - n + 20, n \in [11, + \infty) \end{cases} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{n}$ 的最大值为.

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5、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}$ ，其中 $λ \in [0, 1]$ ， $μ \in [0, 1]$ ，则（）

A、当 $λ = 1$ 时， $A P ⊥ B D$ B、当 $μ = 1$ 时，三棱锥 $P - A B D$ 的体积为 $\frac{8}{3}$ C、当 $λ + μ = 1$ 时， $A P$ $∥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ D、当 $λ = μ = \frac{1}{2}$ 时， $P$ 到平面 $A_{1} C_{1} D$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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6、下列说法中正确的是（）

A、将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 B、设有一个线性回归方程 $\hat{y} = 3 - 5 x$ ，变量 $x$ 增加1个单位时， $\hat{y}$ 平均增加5个单位 C、设具有相关关系的两个变量 $x, y$ 的相关系数为 $r$ ，则 $| r |$ 越接近于 $0$ ， $x$ 和 $y$ 之间的线性相关程度越强 D、在一个 $2 \times 2$ 列联表中，由计算得 $K^{2}$ 的值，则 $K^{2}$ 的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大

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7、已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x - \ln x (a > 0, b \in R)$ ，若对任意 $x > 0$ ，有 $f (x) \geq f (1)$ ，则（）

A、 $\ln a < - 2 b$ B、 $\ln a > - 2 b$ C、 $\ln a = - 2 b$ D、 $\ln a \geq - 2 b$

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8、数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = k n^{2} + n + 1$ ，则“ $k > - \frac{1}{3}$ ”是“ $\{a_{n}\}$ 为递增数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、既不充分也不必要条件 D、充要条件

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9、对于正实数a， $b (a > b)$ ，我们熟知基本不等式： $G (a, b) < A (a, b)$ ，其中 $G (a, b) = \sqrt{a b}$ 为a，b的几何平均数， $A (a, b) = \frac{a + b}{2}$ 为a，b的算术平均数．现定义a，b的对数平均数： $L (a, b) = \frac{a - b}{\ln a - \ln b}$ ．

(1)、设 $x > 1$ ，求证： $2 \ln x < x - \frac{1}{x}$ ；

(2)、证明 $G (a, b) < L (a, b)$ ；

(3)、若不等式 $G (a, b) + A (a, b) > m \cdot L (a, b)$ 对任意正实数 $a, b (a > b)$ 恒成立，求正实数m的取值范围．

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10、将序号分别为1，2，3，4，5的五张参观券全部分给甲，乙，丙，丁四人，每人至少1张，如果分给甲的两张参观券是连号，那么不同分法的种数是（）

A、6 B、24 C、60 D、120

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11、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线为 $\sqrt{5} x + 2 y = 0$ ，其实轴长为 $4, P$ 为双曲线 $C$ 上任意一点.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、求证： $P$ 到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；

(3)、若双曲线 $C$ 的左顶点为 $A_{1}$ ，右焦点为 $F_{2}$ ，求 $\vec{P A_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的最小值.

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12、已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{a}{3} x^{3} - \frac{x^{2}}{2} - 2 a x + 1$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围.

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13、已知各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2} = 8 n$ ，且 $a_{1} = 1$ .

(1)、写出 $a_{2}, a_{3}$ ，并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \{\begin{matrix} a_{n}, n 为奇数, \\ 2^{\frac{a_{n} + 1}{4}}, n 为偶数, \end{matrix}$ 求 $b_{1} b_{2} + b_{3} b_{4} + b_{5} b_{6} + \dots + b_{13} b_{14}$ .

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14、某中学高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为： $[80, 90), [90, 100), [100, 110), [110, 120), [120, 130), [130, 140), [140, 150]$ .其中 $a - b = b - c$ ，且 $c = 2 a$ .该50名学生的期中考试物理成绩统计如下表：
分组
$[50, 60)$
$[60, 70)$
$[70, 80)$
$[80, 90)$
$[90, 100]$
频数
6
9
20
10
5

(1)、根据频率分布直方图，求 $a, b, c$ 的值，并估计数学成绩的平均分（同一组数据用该区间的中点值代表）；

(2)、若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”的同学总数为6人，从数学成绩为“优”的同学中随机抽取2人，求两人恰好均为物理成绩为“优”的概率.

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15、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，已知 $b = 2, c = 2 cos A + \frac{\sqrt{3}}{2} a$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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16、如图，在水平放置的底面直径与高相等的圆柱内，放入三个半径相等的实心小球 $A, B, C$ （小球材质密度 $> 1 \times 10^{3} kg / m^{3}$ ），向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球 $C$ ，若圆柱底面半径为 $5 + 2 \sqrt{5}$ ，则球 $A$ 的体积为；圆柱的侧面积与球 $B$ 的表面积的比值为.

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17、如图，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要将 $A, B, C, D, E, F$ 共 $6$ 名航天员全部安排开展实验，其中天和核心舱要安排 $4$ 人，问天实验舱与梦天实验舱都各要安排 $1$ 人，且 $A$ 不在问天实验舱，则不同的安排方案共有种.（用数字作答）

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18、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 与角 $β$ 均以 $O x$ 为始边，它们的终边关于 $y$ 轴对称.若 $\cos α = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $\cos (α - β) =$ .

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19、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x - 1$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有一个零点 B、 $f (x)$ 的极小值为 $- \frac{5}{3}$ C、 $f (x)$ 的对称中心为 $(0, 1)$ D、直线 $y = - x - 1$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线

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20、已知函数 $f (x) = sin 3 x + \sqrt{3} cos 3 x + \sqrt{2}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{3}$ B、 $f (x)$ 关于点 $(- \frac{π}{9}, 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 关于直线 $x = \frac{π}{18}$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6}, \frac{7 π}{18}]$ 上单调递减

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分组	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$	$[90, 100]$
频数	6	9	20	10	5