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相关试卷

1、设方程 $x^{2} + x + 1 = 0$ 在复数范围内的两根分别为 $z_{1}, z_{2}$ ，则下列关于 $z_{1}, z_{2}$ 的说法正确的有（）

A、 $z_{1}^{2} = z_{2}$ B、 $z_{1}^{3} - z_{2}^{3} = 0$ C、 $z_{1}^{2} - z_{2}^{2} = 0$ D、 $z_{1} z_{2} = 1$

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2、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1, P$ 为直线 $l : x + y + 4 = 0$ 上的一个动点，过点 $P$ 作圆 $O$ 的切线，切点分别为 $A, B$ ，若直线 $P A, P B$ 关于直线 $l$ 对称，则 $\cos ∠ A P B =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

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3、在空间中，“经过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，法向量为 $\vec{e} = (A, B, C)$ 的平面的方程（即平面上任意一点的坐标 $(x, y, z)$ 满足的关系式）为： $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$ ".用此方法求得平面 $α$ 和平面 $β$ 的方程，化简后的结果为分别 $x - y - z = 1$ 和 $x - 2 y + z = 6$ ，则这两平面所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{7}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$

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4、大西洋鲑鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 $v$ （单位： $m / s$ ）可以表示为 $v = k {log}_{3} \frac{O}{100}$ ，其中 $O$ 表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为 $0.5 m / s$ 时耗氧量的单位数为300，则一条鲑鱼游速为 $1.5 m / s$ 时耗氧量的单位数为（）

A、900 B、1200 C、2700 D、8100

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5、“五一”假期将至，腾冲又将迎来今年的新一轮旅游热潮．腾冲某旅行社适时推出了“火山热海”、“和顺古镇”、“叠水河畔”、“湿地荷韵”和“佤寨风光”共五条旅游线路可供旅客选择，其中“火山热海”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足．现甲、乙、丙、丁四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路．则他们报名的情况总共有（）

A、720种 B、360种 C、320种 D、288种

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6、已知平面向量 $\vec{a} = (1, - 2), \vec{b} = (2, t) (t > 0)$ .若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (2 \vec{a} - \vec{b})$ ，则 $t =$ （）

A、 $- 4$ 或1 B、 $- 4$ C、1 D、2

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7、设 $x \in R$ ，则“ $x < 0$ ”是“ $x^{2} - 2 x > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8、设集合 $A = {x ∣ - 1 \leq x < 1}, B = \{x ∣ {log}_{2} x \leq 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ - 1 < x \leq 1}$ B、 ${x ∣ - 1 < x < 1}$ C、 ${x ∣ 0 < x \leq 1}$ D、 ${x ∣ 0 < x < 1}$

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9、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $(2 \sqrt{2}, \sqrt{2})$ 在 $C$ 上， $F_{1} F_{2}$ 分别为椭圆 $C$ 的左、右焦点， $A$ 为椭圆 $C$ 的右顶点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设椭圆 $C$ 上一点 $M$ 的坐标为 $(x_{0}, y_{0})$ ，若 $∠ F_{1} M F_{2}$ 为钝角，求横坐标 $x_{0}$ 的取值范围；

(3)、过点 $B (5, 2)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于不同的两点D，E(D，E与 $A$ 不重合)，直线 $A D, A E$ 分别与直线 $x = 5$ 交于P，Q两点，求 $|B P| \cdot |B Q|$ 的值.

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10、设函数 $f (x) = a x^{2}, g (x) = \ln x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，
①求函数 $F (x) = g (x) - f (x) + x$ 的单调区间；
②对于 $\forall x \in [1, + \infty), x g (x) + f (x) \geq (m + 1) x - m$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

(2)、当 $a > 0$ 时，曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 有两条公切线，求实数 $a$ 的取值范围.

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11、据教育部统计，2024届全国高校毕业生规模预计达1179万，同比增加21万，岗位竞争激烈．为落实国务院关于高校毕业生就业工作的决策部署，搭建高校毕业生和用人单位求职招聘的双向对接通道，促进高校毕业生高质量充分就业，某市人社局联合市内高校开展2024届高校毕业生就业服务活动系列招聘会．参加招聘会的小王打算依次去甲、乙、丙三家公司应聘．假设小王通过某公司的专业测试就能与该公司签约，享受对应的薪资待遇，且不去下一家公司应聘，或者放弃签约并参加下一家公司的应聘；若未通过测试，则不能签约，也不再选择下一家公司．已知甲、乙、丙三家公司提供的年薪分别为10万元、12万元、18万元，小王通过甲、乙、丙三家公司测试的概率分别为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ，通过甲公司的测试后选择签约的概率为 $\frac{3}{4}$ ，通过乙公司的测试后选择签约的概率为 $\frac{3}{5}$ ，通过丙公司的测试后一定签约．每次是否通过测试、是否签约均互不影响．

(1)、求小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率；

(2)、设小王获得的年薪为 $X$ （单位：万元），求 $X$ 的分布列及其数学期望．

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12、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是菱形， $P A = A B = 2$ ， $∠ B A D = 60^{°}$ .

(1)、求证：直线 $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若点 $M$ 为线段 $P C$ 的中点，求二面角 $C - M B - A$ 的正弦值.

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13、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差 $d > 0, a_{2}$ 与 $a_{8}$ 的等差中项为5，且 $a_{4} a_{6} = 16$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \{\begin{matrix} a_{n} ， n 为奇数 \\ \frac{1}{a_{n} a_{n + 2}} ， n 为偶数 \end{matrix}$ ，求数列{b_n}的前20项和T_20.

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14、已知函数 $f (x) = 2^{[\sin x]} + 3^{[\cos x]}$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数.如： $[1] = 1, [0.5] = 0, [- 0.5] = - 1$ ，以下三个结论：
① $f (\frac{3 π}{4}) = \frac{4}{3}$ ；
②集合 $\{y \in R |y = f (x), x \in R\}$ 的元素个数为9；
③ $f (x) > x + a$ 对任意 $x \in [0, 2 π]$ 都成立，则实数 $a$ 的取值范围是 $(- \infty, \frac{3}{2} - 2 π]$ .
其中所有正确结论的序号是.

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} + a_{n} = 3 n + 2$ ，则其前9项和 $S_{9} =$ .

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16、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{9} = 1 (a > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, P$ 为双曲线 $C$ 右支上一点，则下列说法正确的是（）

A、若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆圆心为 $I (4 ， 1)$ ，直线 $P F_{1}$ 的斜率为 $\frac{9}{40}$ B、若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆圆心为 $I (4 ， 1) ， △ P F_{1} F_{2}$ 的外接圆半径为 $\frac{65}{12}$ C、若 $k_{P F_{2}} = - \frac{3}{a}$ 且 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则 $e = \sqrt{5}$ D、若 $k_{P F_{2}} = - \frac{3}{a}$ 且 $e \leq \sqrt{2}$ ，则 $|P F_{1}| \geq 5 |P F_{2}|$

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17、已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 16$ ，直线 $l : m x + y + 2 m + 1 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、若圆 $C$ 关于直线 $l$ 对称，则 $m = \frac{1}{3}$ B、若直线 $l$ 与圆 $C$ 交于M，N两点，则 $|M N|$ 的最小值为 $4 \sqrt{6}$ C、若 $P (6, 0)$ ，动点 $Q$ 在圆 $C$ 上，则 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q}$ 的最大值为30 D、若过直线 $x + 2 y - 9 = 0$ 上任意一点 $E$ 作圆 $C$ 的切线，切点为 $F$ ，则 $|E F|$ 的最小值为 $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

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18、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ (其中 $A > 0 ， ω > 0 ， |φ| < \frac{π}{2}$ )的部分图象如图所示，则（）

A、 $φ = - \frac{π}{6}$ B、 $ω = 4$ C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{24}, \frac{π}{6}]$ 上的值域为 $[- \frac{3}{2}, \frac{3}{2}]$

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19、已知点 $P \in \{(x, y) | |2 y| \leq |\frac{2 y}{x}| \leq |\ln x|\}$ ，则点 $P$ 到直线 $x - y - 1 = 0$ 的最大距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{2} e^{- 3}}{4} + \frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2} e^{- 3}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2} e^{- 3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2} e^{- 3}}{4} + 1$

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20、如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C,$ $∠ A B C = 90^{°}, A A_{1} = A_{1} B_{1} = B_{1} C_{1} = 1, A B = 2$ ，则 $A C$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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