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相关试卷

1、已知 $\sin (α - β) = \frac{3}{5}, \frac{1}{\tan α} - \frac{1}{\tan β} = 2$ ，则 $\sin α \sin β =$ （）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $- \frac{3}{10}$ D、 $\frac{3}{10}$

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2、已知 $O$ 为坐标原点， $F$ 为抛物线 $E : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点， $A$ 为 $E$ 上的一点， $A F$ 垂直于 $y$ 轴， $B$ 为 $y$ 轴上一点，且 $∠ B A O = 90^{°}$ ，若 $|F B| = 4 \sqrt{3}$ ，则 $p =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $8 \sqrt{3}$

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3、近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间；现调查某地区中学生(包含初中生与高中生)对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示：

喜欢增加体育运动时间
不喜欢增加体育运动时间
初中生
160
40
高中生
140
60
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$P (χ^{2} \geq k)$
0.10
0.05
0.01
$k$
2.706
3.841
6.635
以下结论中错误的是（）

A、有 $95 %$ 的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关 B、没有 $99 %$ 的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关 C、在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关 D、在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度无关

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4、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = \sqrt{3}$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (3 \vec{a} - \vec{b}) =$ （）

A、6 B、10 C、15 D、21

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5、已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A、 $A \cap ∁_{U} B$ B、 $A \cup ∁_{U} B$ C、 $B \cap ∁_{U} A$ D、 $B \cup ∁_{U} A$

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6、在复平面内，复数 $i^{3} (1 + i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7、已知函数 $f (x) = \frac{e ^{x - 1}}{x} + a ln x + \frac{a}{x}$ ．

(1)、当 $a = e$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、写出 $f (x)$ 的零点个数（直接写出结果）．

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8、已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + x$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处的切线的斜率为1，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处的切线方程；

(2)、定义：若 $\forall x \in [a, b]$ ，均有 $f (x) \leq g (x)$ ，则称函数 $g (x)$ 为函数 $f (x)$ 的控制函数．
① $\forall x \in [0, 1]$ ，试问 $g (x) = x$ 是否为函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + x$ 的“控制函数”？并说明理由；
② $\forall x \in [0, 3]$ ，若 $g (x) = x + m$ 为函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + x$ 的“控制函数”，求实数 $m$ 的取值范围．

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9、某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表：
销售量
销售周期个数
市场
3吨
4吨
5吨
甲
3
4
3
乙
2
5
3

(1)、从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率；

(2)、以市场销售量的频率代替销售量的概率．设 $X$ （单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量 $X$ 概率分布列；

(3)、在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进 $n$ 吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断 $n = 7$ 与 $n = 8$ 应选用哪一个．

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10、为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校随机抽取了100名学生，调查这100名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如图所示的频率分布直方图．

(1)、若该校共有2000名同学，试估计该校假期日均阅读时间在 $[20, 60)$ 内的人数；

(2)、开学后，学校从日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取了6名学生作为代表进行国旗下演讲．若演讲安排在第二，三，四周（每周两人，不重复）进行．求第二周演讲的2名学生至少有一名同学的日均阅读时间处于 $[60, 80)$ 的概率；

(3)、用频率估计概率，从该校学生中随机抽取3人，设这3人中日均阅读时间不低于60分钟人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望 $E (X)$ ．

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11、某班级的所有学生中，课前是否预习本节课所学内容的人数情况如下表所示．

男生
女生
预习了所学内容
12
17
没预习所学内容
6
5
现从该班所有学生中随机抽取一人：

(1)、求抽到预习了所学内容的概率；

(2)、若抽到的同学是男生，求他预习了所学内容的概率；

(3)、试判断“抽到的同学是男生”与“抽到的同学预习了所学内容”是否相互独立，并说明理由．

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12、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + a x + b}{x} (a, b \in R)$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 为奇函数，求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $a = 2$ ， $b = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的最小值．

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13、已知函数 $f (x) = | ln x | + b$ ，关于以下四个结论：
①函数 $f (x)$ 的值域为 $[b, + \infty)$ ；
②当 $a > b$ 时，方程 $f (x) = a$ 有两个不等实根；
③当 $b = 0$ ， $a > 0$ 时，设方程 $f (x) = a$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2}$ 为定值；
④当 $b = 0$ ， $a > 0$ 时，设方程 $f (x + 1) = a$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} = 0$ ．
则所有正确结论的序号为．

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14、已知命题 $P$ ：函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x ^{2} + a, x \leq 0 \\ \sqrt{x} + b, x > 0 \end{array}$ 为 $R$ 上的增函数．能说明 $P$ 为假命题的一组 $a$ ， $b$ 的值为 $a =$ ， $b =$ ．

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15、某区高二年级4000名学生的期中检测的数学成绩服从正态分布 $N (90, 15^{2})$ ，则成绩位于 $[90, 105]$ 的人数大约是．
（参考数据： $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ）

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16、不等式 $x ^{2} - x - 12 > 0$ 的解集是．

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17、函数 $f (x) = lg x + \sqrt{1 - x}$ 的定义域是．

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{ln x}{x}, x > 0 \\ x ^{2} + 2 x, x \leq 0 \end{array}$ ；若方程 $f (x) = a$ 恰有三个根，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{e})$ B、 $[0, \frac{1}{e}]$ C、 $(- 1, \frac{1}{e})$ D、 $(0, \frac{1}{e}) \cup {- 1}$

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19、设函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, 4)$ 处的切线的斜率为10，则 $f^{'} (- 2) + f (- 2) =$ （）

A、 $- 16$ B、 $- 6$ C、6 D、16

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20、某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共4道工序，现要从 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 这6名员工中选出4人，安排在4道工序上工作（每道工序安排一人），如果员工 $A$ 不能安排在第四道工序，则不同的安排方法共有（）

A、360种 B、300种 C、180种 D、120种

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	喜欢增加体育运动时间	不喜欢增加体育运动时间
初中生	160	40
高中生	140	60

	男生	女生
预习了所学内容	12	17
没预习所学内容	6	5

$P (χ^{2} \geq k)$	0.10	0.05	0.01
$k$	2.706	3.841	6.635