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相关试卷

1、一个棱长为4的正四面体木块如图所示，点P在棱 $V A$ 上，且 $\vec{V P} = \frac{1}{4} \vec{V A}$ ，过点P将木块锯开，使截面平行于直线 $V B$ 和 $A C$ ，则截面图形的周长为（）

A、6 B、8 C、12 D、16

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2、一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是（）

A、“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球” B、“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球” C、“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球” D、“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”

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3、在 $△ A B C$ 中， $(\vec{A B} + k \vec{A C}) // \vec{B C}$ ，则 $k =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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4、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $c \sin C + b \sin B = a \sin A$ ，则该三角形的形状是（）

A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、不确定的

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5、某校高一年级有1100名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有900名学生．该校心理咨询室为了解该校学生的心理健康状况，对该校所有学生按年级采用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取了一个容量为150的样本，则样本中高一年级的学生人数为（）

A、45 B、50 C、55 D、60

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6、复数 $z = (- 10 - 3 i) i$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7、下列说法正确的有（）

A、命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 > 0$ ”的否定为“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 \leq 0$ ” B、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ C、若幂函数 $y = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} - 2 m - 3}$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上是减函数，则 $m = 2$ 或 $- 1$ D、方程 $x^{2} + (a - 3) x + a = 0$ 有一个正实根，一个负实根，则 $a < 0$ ．

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8、如图1，在梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $E$ 是线段 $A B$ 上的一点， $B E = C D = C E = \sqrt{2}$ ， $B C = 2$ ，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折到 $△ P D E$ 的位置.

(1)、如图2，若二面角 $P - E D - B$ 为直二面角， $M$ ， $N$ 分别是 $B C$ ， $P E$ 的中点，若直线 $M N$ 与平面 $P B C$ 所成角为 $θ$ ， $\sin θ > \frac{\sqrt{3}}{6}$ ，求平面 $P B C$ 与平面 $P E C$ 所成锐二面角的余弦值的取值范围；

(2)、我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点 $K$ 为线段 $C E$ 的中点， $G$ ， $H$ 分别在线段 $P K$ ， $C D$ 上（不包含端点），且 $G H$ 为 $P K$ ， $C D$ 的公垂线，如图3所示，记四面体 $C K G H$ 的内切球半径为 $r$ ，证明： $\frac{1}{r} > 2 (\frac{1}{K G} + \frac{1}{C H})$ .

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9、某班学生分A， $B$ ， $C$ ， $D$ 四组参加数学知识竞答，规则如下：四组之间进行单循环（每组均与另外三组进行一场比赛）；每场比赛胜者积3分，负者0分；若出现平局，则比赛双方各积1分.现假设四个组战胜或者负于对手的概率均为 $\frac{1}{4}$ ，出现平局的概率为 $\frac{1}{2}$ ，每场比赛相互独立.

(1)、求A组在参加两场比赛后得分为3分的概率；

(2)、一轮单循环结束后，求四组总积分一样的情况种数，并计算四组总积分一样的概率.

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10、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 对应的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $2 c^{2} = a^{2} + b^{2}$ .

(1)、证明： $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B} = \frac{2}{\tan C}$ ；

(2)、求 $\frac{a}{b}$ 的取值范围.

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11、如图，在四棱锥 $P - A B D C$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{2}$ ， $P D^{2} - P B^{2} = 19$ ， $P B = P A$ ， $A B = A C = 6$ ， $C D = 5$ ， $B D = \sqrt{85}$ ，点 $E$ 为 $B C$ 的中点.

(1)、证明： $E P ⊥$ 平面 $A B D C$ ；

(2)、当直线 $P B$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ 时，求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值.

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12、《中国制造2025》提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，这为我国节能与新能源汽车产业发展指明了方向，某新能源汽车生产商为了提升产品质量，对某款汽车的某项指标进行检测后，频率分布直方图如图所示：

(1)、求该项指标的第30百分位数；

(2)、若利用该指标制定一个标准，需要确定临界值 $x$ ，将该指标小于 $x$ 的汽车认为符合节能要求，已知 $x \in [90, 100]$ ，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求该款汽车符合节能要求的概率 $f (x)$ .

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13、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $\vec{c} = λ \vec{a} + \vec{b}$ .

(1)、当 $λ = 1$ ，求 $|\vec{c}|$ ；

(2)、当 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ 时，求 $λ$ 的值.

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14、已知三棱锥 $P - A B C$ ， $P A ⊥$ 面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D ⊥ P B$ 交 $P B$ 于 $D$ ， $A E ⊥ P C$ 交 $P C$ 于 $E$ ， $P A = A B = 1$ ，记三棱锥 $P - A D E$ ，四棱锥 $A - D E C B$ 的外接球的表面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，当三棱锥 $P - A D E$ 体积最大时，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}} =$ .

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15、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 分别对应边 $a, b, c$ ， $∠ A = \frac{5 π}{6}$ ， $a = 1$ ，已知函数 $f (b, c) = b + t c$ ，若 $f (b, c)$ 存在最大值，则正数 $t$ 的取值范围是.

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16、已知点 $O$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点，若 ${\vec{A C}}^{2} - {\vec{A B}}^{2} = 2 \vec{A O} \cdot \vec{B C}$ ，则点 $O$ 的轨迹必通过 $△ A B C$ 的.（填：内心，外心，垂心，重心）

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17、已知向量 $\vec{a} = (1, 2, 2)$ ， $\vec{b} = (2, 3, 2)$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ .

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18、如图棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是 $A_{1} D_{1}$ 的中点，点 $P$ 是正方体表面上一动点，点 $Q$ 为 $△ A C E$ 内（不含边界）的一点，若 $B P //$ 平面 $A C E$ ，则下列说法正确的是（）

A、平面 $A C E$ 与线段 $C_{1} D_{1}$ 的交点为线段 $C_{1} D_{1}$ 的中点 B、 $P$ 到平面 $A C E$ 的距离为 $\frac{4}{3}$ C、三棱锥 $Q - A C P$ 体积存在最大值 D、直线 $D P$ 与直线 $A Q$ 所成角的余弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{17}}{9}$

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19、下列命题正确的是（）

A、对于事件 $A$ ， $B$ ，若 $A \subseteq B$ ，则 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ B、若三个事件 $A$ ， $B$ ， $C$ 两两互斥，则 $P (A \cup B \cup C) = P (A) + P (B) + P (C)$ C、若 $P (A) > 0$ ， $P (B) > 0$ ，则事件 $A$ ， $B$ 相互独立与互斥不会同时发生 D、若事件 $A$ ， $B$ 满足 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{3}{5}$ ， $P (A + \bar{B}) = \frac{1}{2}$ ，则 $P (A \bar{B} + \bar{A} B) = \frac{9}{10}$

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20、已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $z_{2} = \bar{z_{1}}$ B、若 $|z_{1} - z_{2}| = |z_{1} + z_{2}|$ ，则 $z_{1} z_{2} = 0$ C、若 $z_{1} z_{2} \in R$ ，则 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ D、若 $|z - z_{1}| = |z - z_{2}|$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点在一条直线上

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