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相关试卷

1、下面给出的关系式中，不正确的是（）

A、 $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = {(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2}$ B、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} \Rightarrow \vec{b} = \vec{c}$ C、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ D、 $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq \vec{a} \cdot \vec{b}$

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2、已知点 $P$ 是边长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 表面上的动点，若直线 $A P$ 与平面 $A B C D$ 所成的角大小为 $\frac{π}{4}$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2} + π$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2} (4 + π)$ D、 $2 \sqrt{2} + \frac{π}{2}$

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3、有一座6层大楼，3人从大楼第一层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这3人离开电梯的层数之和为10的概率是（）

A、 $\frac{4}{125}$ B、 $\frac{3}{25}$ C、 $\frac{24}{125}$ D、 $\frac{12}{25}$

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4、某校组织高一1班，2班开展数学竞赛，1班40人，2班30人，根据统计分析，两班成绩的方差分别为 $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ .记两个班总成绩的方差为 $s^{2}$ ，则（）

A、 $s^{2} \geq \frac{s_{1}^{2} + s_{2}^{2}}{2}$ B、 $s^{2} \geq \frac{4 s_{1}^{2} + 3 s_{2}^{2}}{7}$ C、 $s^{2} = \frac{4 s_{1}^{2} + 3 s_{2}^{2}}{7}$ D、 $s^{2} \leq \frac{4 s_{1}^{2} + 3 s_{2}^{2}}{7}$

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5、大善塔，位于绍兴市区城市广场东南隅，是绍兴城地标性建筑，其塔顶部可以近似地看成一个正六棱锥.假设该六棱锥的侧面和底面的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则该六棱锥的高和底面边长之比为（）

A、 $2 : 3$ B、 $1 : 3$ C、 $3 : 2$ D、 $3 : 1$

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6、已知水平放置的四边形 $A B C D$ 的斜二测直观图为矩形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，已知 $A^{'} B^{'} = 6$ ， $B^{'} C^{'} = 3$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $6 \sqrt{2}$ B、 $12 \sqrt{2}$ C、 $24 \sqrt{2}$ D、 $36 \sqrt{2}$

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7、点 $A$ 是直线 $P Q$ 外一点，点 $M$ 在直线 $P Q$ 上（点 $M$ 与 $P, Q$ 两点均不重合），我们称如下操作为“由 $A$ 点对 $P Q$ 施以视角运算”：若点 $M$ 在线段 $P Q$ 上，记 $(P, Q; M) = \frac{|A P| sin ∠ P A M}{|A Q| sin ∠ M A Q}$ ；若点 $M$ 在线段 $P Q$ 外，记 $(P, Q; M) = - \frac{|A P| sin ∠ P A M}{|A Q| sin ∠ M A Q}$ .

(1)、若 $M$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $A B$ 的延长线上，且 $A B = 2 B M = 2$ ，由 $A_{1}$ 对 $A B$ 施以视角运算，求 $(A, B; M)$ 的值；

(2)、若 $M$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $A B$ 上，且 $A B = 2$ ，由 $A_{1}$ 对 $A B$ 施以视角运算，得到 $(A, B; M) = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{A M}{M B}$ 的值；

(3)、若 $M_{1}, M_{2}, M_{3}, \dots, M_{n - 1}$ 是 $△ A B C$ 的边 $B C$ 的 $n (n \geq 2)$ 等分点，由 $A$ 对 $B C$ 施以视角运算，证明： $(B, C; M_{k}) \times (B, C; M_{n - k}) = 1 (k = 1, 2, 3, \dots, n - 1)$ .

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8、如图，已知四边形 $A B C D$ 为菱形，四边形 $A C E F$ 为平行四边形，且 $A B = 6$ ， $∠ B A D = ∠ B A F = ∠ D A F = 60 °$ .

(1)、证明：直线 $B D ⊥$ 平面 $A C E F$ ；

(2)、设平面 $B E F \cap$ 平面 $A B C D = l$ ，且二面角 $E - l - D$ 的平面角为 $θ$ ， $\tan θ = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ，设 $G$ 为线段 $A F$ 的中点，求 $D G$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值.

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9、袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个，其中白球3个，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.
（1）求取球2次即终止的概率；
（2）求甲取到白球的概率.

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10、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $a = b cos C - \frac{\sqrt{3}}{3} b sin C$ .

(1)、求 $B$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，且 $\vec{B C} = 3 \vec{B D}$ ，当线段 $A D$ 的长最短时，求 $A C$ 的长.

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11、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D, P A = A B = 2, P B =$ $2 \sqrt{2}, A D = 2 B C = 2, A B ⊥ B C, A D$ $/ /$ $B C, M$ 为棱 $A P$ 的中点.

(1)、求证： $B M$ $/ /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $B C M$ 所成角的正弦值.

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12、厦门一中为提升学校食堂的服务水平，组织全校师生对学校食堂满意度进行评分，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分（满分100分）作为样本，在这200个样本中，所有学生评分样本的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s_{x}^{2}$ ，所有教师评分样本的半均数为 $\bar{y}$ ，方差为 $s_{y}^{2}$ ，总样本的平均数为 $\bar{z}$ ，方差为 $s^{2}$ ，若 $\bar{x} = \bar{y}, s^{2} = \frac{4}{5} s_{x} s_{y}$ ，抽取的学生样本多于教师样本，则总样本中学生样本的个数至少为．

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13、如图，函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ 的图象与坐标轴交于点A，B，C，直线 $B C$ 交 $f (x)$ 的图象于点D，O(坐标原点)为 $△ A B D$ 的重心(三条边中线的交点)，其中 $A (- π, 0)$ ，则 $△ A B D$ 的面积为.

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14、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ， $E, F, G$ 分别为棱 $A A_{1}, C C_{1}, B C$ 上的点， $A_{1} E = C F = C G = λ \in (0, 1)$ ，则（）

A、 $E G ⊥ G F$ B、平面 $E F G$ 经过棱 $A B$ 的中点 $H$ C、平面 $E F G$ 截该正方体，截面面积的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、点 $D$ 到平面 $E F G$ 距离的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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15、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin ω x + 2 {sin}^{2} \frac{ω x}{2} (ω > 0)$ 的图象在区间 $[0, π]$ 上有且仅有三个对称中心，则（）

A、 $ω$ 的取值范围是 $[2, \frac{10}{3})$ B、 $f (x)$ 的图象在区间 $[0, π]$ 上有2条或3条对称轴 C、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{4})$ 上的最大值不可能为3 D、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{6})$ 上为增函数

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16、一个正八面体的八个面上分别标以数字1到8，将其随机拋掷两次，记与地面接触面上的数字依次为 $x_{1}, x_{2}$ ，事件 $A =$ “ $x_{1} = 3$ ”，事件 $B =$ “ $x_{2} = 6$ ”，事件 $C =$ “ $x_{1} + x_{2} = 9$ ”，则（）

A、 $A B \subseteq C$ B、 $A C \subseteq B$ C、 $B, C$ 互斥 D、 $B, C$ 独立

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17、已知平面向量 ${\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}, {\vec{e}}_{3}, | {\vec{e}}_{1} | = | {\vec{e}}_{2} | = | {\vec{e}}_{3} | = 1, 〈 {\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2} 〉 = 60^{°}$ .若对区间 $[\frac{1}{2}, 1]$ 内的三个任意的实数 $λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}$ ，都有 $| λ_{1} {\vec{e}}_{1} + λ_{2} {\vec{e}}_{2} + λ_{3} {\vec{e}}_{3} | ⩾ \frac{1}{2} | \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}} + {\vec{e}}_{3} |$ ，则向量 ${\vec{e}}_{1}$ 与 ${\vec{e}}_{3}$ 夹角的最大值的余弦值为（）

A、 $- \frac{3 + \sqrt{6}}{6}$ B、 $- \frac{3 + \sqrt{5}}{6}$ C、 $- \frac{3 - \sqrt{6}}{6}$ D、 $- \frac{3 - \sqrt{5}}{6}$

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18、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中边长为2，点 $P$ 是上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内一动点，若三棱锥 $P - A B C$ 的外接球表面积恰为 $\frac{41 π}{4}$ ，则此时点 $P$ 构成的图形面积为（）

A、 $π$ B、 $\frac{25}{16} π$ C、 $\frac{41}{16} π$ D、 $2 π$

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19、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = C C_{1}$ ， AC⊥BC，点D是AB的中点，则直线 $B_{1} B$ 和平面 $C D B_{1}$ 所成角的正切值为( )

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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20、设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是非零向量，则“存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{b} = λ \vec{a}$ ”是“ $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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