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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = 4 {cos}^{2} (\frac{ω x}{2} - \frac{π}{6}) - 1 (ω > 0)$ ，若对任意的实数 $t$ ， $f (x)$ 在区间 $(t, t + \frac{2 π}{3})$ 上的值域均为 $[- 1, 3]$ ，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(0, 3)$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $(3, + \infty)$

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2、已知平面 $α / /$ 平面 $β, a, b$ 是平面 $α, β$ 外两条不同的直线，则下列结论错误的是（）

A、若 $a / / α$ ，则 $a ∥ β$ B、若 $b ⊥ α$ ，则 $b ⊥ β$ C、若 $a ∥ α, b ∥ β$ ，则 $a / / b$ D、若 $a ⊥ α, b ⊥ β$ ，则 $a / / b$

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3、已知动圆P过点 $F_{2} (2, 0)$ ，并且与圆 $F_{1} : {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 外切，设动圆的圆心P的轨迹为C.

(1)、直线 $F_{2} Q$ 与圆 $F_{1}$ 相切于点Q，求 $|F_{2} Q|$ 的值；

(2)、求曲线C的方程；

(3)、过点 $F_{2}$ 的直线 $l_{1}$ 与曲线C交于E，F两点，设直线 $l : x = \frac{1}{2}$ ，点 $D (- 1, 0)$ ，直线 $E D$ 交 $l$ 于点M，证明直线 $F M$ 经过定点，并求出该定点的坐标.

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4、已知各项均为正数的数列 $\{a_{n}\} 、 \{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 4, b_{1} = 2$ ，且 $b_{n}, a_{n}, b_{n + 1}$ 成等差数列， $a_{n}, b_{n + 1}, a_{n + 1}$ 成等比数列.

(1)、求 $a_{2}, b_{2}$ 的值；

(2)、证明：数列 $\{\sqrt{a_{n}}\}$ 为等差数列；

(3)、记 $c_{n} = \frac{1}{b_{n}}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ .

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5、“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚.近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景.某公司对A充电桩进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表，并计算得 $\sum_{i = 1}^{6} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 30$ .
A充电桩投资金额 $x$ /百万元
3
4
6
7
9
10
所获利润 $y$ /百万元
1.5
2
3
4.5
6
7

(1)、已知可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，求其线性回归方程；

(2)、若规定所获利润y与投资金额x的比值不低于 $\frac{2}{3}$ ，则称对应的投入额为“优秀投资额”，记2分，所获利润 $y$ 与投资金额 $x$ 的比值低于 $\frac{2}{3}$ 且大于 $\frac{1}{2}$ ，则称对应的投入额为“良好投资额”，记1分，所获利润 $y$ 与投资金额 $x$ 的比值不超过 $\frac{1}{2}$ ，则称对应的投入额为“不合格投资额”，记0分，现从表中6个投资金额中任意选2个，用X表示记分之和，求X的分布列及数学期望.
附：对于一组数据 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n})$ 其回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \bar{x^{2}}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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6、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ .

(1)、求证： $A B_{1} ⊥$ 面 $A_{1} B C$ ；

(2)、若E为线段 $A_{1} C$ 的中点，求平面 $A B E$ 与平面 $B C E$ 所成锐二面角的大小.

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7、已知函数 $f (x) = e^{x} - x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、求 $y = f (x)$ 在点 $(1, e - 1)$ 处的切线方程.

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8、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $P A ⊥$ 平面ABC， $A E ⊥ P B$ 于点E，M是AC的中点， $P B = 1$ ，则 $\overset{⃑}{E P} \cdot \overset{⃑}{E M}$ 的最小值为．

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9、如果一个三位正整数如“ $a_{1} a_{2} a_{3}$ ”满足 $a_{1} > a_{2}$ ，且 $a_{2} < a_{3}$ ，则称这样的三位数为“好数”（如201，325等），那么由数字1，2，3，4，5能组成个无重复数字的“好数”.

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10、已知圆 $C : {(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 8$ ，则圆心坐标为.

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11、已知抛物线 $y^{2} = \frac{1}{2} x, A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 是该抛物线上两点， $O$ 为坐标原点， $F$ 为焦点，则下列结论正确的是（）

A、若直线 $A B$ 过点 $F$ ，则 $x_{1} x_{2} = \frac{1}{16}$ B、若 $|A F| + |B F| = 2$ ，则线段 $A B$ 的中点到准线的距离为1 C、若 $\vec{A F} = λ \vec{F B}$ ，则 $3 |A F| + |B F|$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3} + 2}{4}$ D、若 $O A ⊥ O B$ ，则 $|O A| \cdot |O B| ⩾ \frac{1}{2}$

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12、已知方程 $e^{x} - a x = 0$ 在 $x \in [\frac{1}{2}, 2]$ 上有两个不同的实根，则实数a的取值可以是（）

A、 $e$ B、 $2 \sqrt{e}$ C、 $\frac{e^{2}}{2}$ D、 $\frac{9}{5} \sqrt{e}$

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13、有两组样本数据： $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{2024}$ ； $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{2024}$ .其中 $y_{i} = x_{i} + 2024 (i = 1, 2, \dots, 2024)$ ，则这两组样本数据的（）

A、样本平均数相同 B、样本中位数相同 C、样本方差相同 D、样本极差相同

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14、折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且 $∠ A B C = 120 °$ ，则该圆台的体积为（）

A、 $\frac{50 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $9 π$ C、 $7 π$ D、 $\frac{14 \sqrt{2}}{3} π$

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15、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，则 $(\vec{A B} + \vec{A D}) \cdot (\vec{A D} + \vec{A A_{1}}) =$ （）

A、1 B、0 C、 $- 1$ D、2

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16、在 ${(x - 1)}^{5}$ 的展开式中，含 $x^{4}$ 的项的系数是（）

A、10 B、5 C、 $- 5$ D、 $- 10$

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17、抛掷一枚骰子，当出现6点时，就说试验成功，则在30次试验中成功的次数X的均值为（）

A、8 B、10 C、5 D、6

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18、抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点是

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(1, 0)$ C、 $(0, - 1)$ D、 $(0, 1)$

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19、等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{3} = 3$ ，则 $a_{2024} =$ （）

A、2024 B、2025 C、2026 D、2027

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20、设数列 $\{a_{n}\}$ 为： $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{8}, \frac{1}{8}, \frac{1}{8}, \frac{1}{8}, \frac{1}{8}, \frac{1}{8}, \frac{1}{8}, \cdot \cdot \cdot$ ，其中第1项为 $\frac{1}{1}$ ，接下来2项均为 $\frac{1}{2}$ ，再接下来4项均为 $\frac{1}{4}$ ，再接下来8项均为 $\frac{1}{8}$ ， …，以此类推，记 $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$ ，现有如下命题：①存在正整数 $k$ ，使得 $a_{k} < \frac{1}{k}$ ；②数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是严格减数列.下列判断正确的是（）

A、①和②均为真命题 B、①和②均为假命题 C、①为真命题，②为假命题 D、①为假命题，②为真命题

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A充电桩投资金额 $x$ /百万元	3	4	6	7	9	10
所获利润 $y$ /百万元	1.5	2	3	4.5	6	7