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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x^{2} - a e^{x}$ （ $a \geq 2, e$ 是自然对数的底数）．

(1)、设直线 $l$ 为曲线 $y = f (x)$ 的切线，记直线 $l$ 的斜率的最大值为 $g (a)$ ，求 $g (a)$ 的最大值；

(2)、已知 $ln 2 \approx 0.693$ ，设 $M = \{y |y = f^{'} (x), x \in (ln \frac{1}{a^{2}}, ln \frac{2}{a})\}, N = \{y |y = f^{'} (x), x \in (ln \frac{2}{a}, ln \frac{4}{a})\}$ ，求证： $N$  $M$ ．

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2、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的顶点处各挂一盏灯笼，每秒有且只有一个顶点处的灯笼被点亮，下一秒被点亮的灯笼必须与上一个顶点相邻（在同一条棱上），且每个相邻顶点的灯笼被点亮的概率相同，下一盏灯笼被点亮上一盏自动熄灭．若初始亮灯点 $(n = 0)$ 位于点 $A$ 处，第 $n$ 秒亮灯点在底面 $A B C D$ 上的概率为 $P_{n}$ ．

(1)、求 $P_{1}$ 和 $P_{2}$ 的值；

(2)、推测 $P_{n}$ 与 $P_{n + 1}$ 的关系，并求出 $P_{n}$ 的表达式．

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3、小华同学设置手机密码的六位数字时，准备将 $π (π \approx 3.14159 \dots)$ 的前6位数字（1，1，3，4，5，9）按照一定的顺序进行设置．

(1)、记事件 $A$ ：相同的数字相邻，求事件 $A$ 发生的概率 $P (A)$ ；

(2)、记事件 $B$ ：相同的数字不相邻，求事件 $B$ 发生的概率 $P (B)$ ；

(3)、记事件 $C$ ：相同数字不相邻，且相同数字之间只有一个数字，求在事件 $B$ 发生的条件下，事件 $C$ 发生的概率 $P (C |B)$ ．

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4、已知函数 $f (x) = 1 + a ln x - x (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性．

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5、抛掷一校质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别标有数字1，2，3，4），底面的点数为1记为事件 $A$ ，抛掷 $n$ 次后事件 $A$ 发生奇数次的概率记为 $P_{n}$ ，则 $P_{1} =$ ， $P_{2024} =$ .

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6、用模型 $y = a \cdot e^{k x}$ 拟合一组数据，令 $z = ln y$ ，将模型转化为经验回归方程 $z = 0.1 x + 3$ ，则 $a \cdot k =$ ．

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7、设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (5, σ^{2})$ ，且 $P (X < 2) = 0.1$ ，则 $P (2 \leq X \leq 8) =$ ．

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8、微分方程（由导函数求原函数）是微积分的重要分支，例如根据导函数 $y^{'} = \frac{2 ln x}{x}$ ，逆用复合函数的求导法则得 $y = {(ln x)}^{2} + a$ （ $a$ 为常数）．已知函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 满足 $x f^{'} (x) + f (x) = \frac{ln x}{x}$ ，且 $f (e) = \frac{1}{e}$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $f^{'} (e) = 0$ B、若 $g (x) = x f (x)$ ，则 $g^{'} (x) = {[\frac{{(ln x)}^{2}}{2} + c]}^{'}$ （ $c$ 为常数） C、 $x = e$ 是函数 $f (x)$ 的极值点 D、函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减

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9、已知 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 是互不相等的正数，随机变量 $X, Y$ 的分布列如下表所示，
$X$
$x_{1}$
$x_{2}$
$x_{3}$
$P$
$a$
$b$
$c$
$Y$
$\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$
$\frac{x_{2} + x_{3}}{2}$
$\frac{x_{1} + x_{3}}{2}$
$P$
$a$
$b$
$c$
若 $a, b, c$ 既成等差数列也成等比数列， $X, Y$ 的期望和方差分别为 $E (X), E (Y)$ 和 $D (X), D (Y)$ ，则（）

A、 $E (X) = E (Y)$ B、 $E (X) > E (Y)$ C、 $D (X) < D (Y)$ D、 $D (X) > D (Y)$

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10、下列关于一元线性回归的叙述正确的有（）

A、若相关系数 $r = - 0.98$ ，则 $y$ 与 $x$ 的相关程度很强 B、残差图中的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用模型比较合适 C、决定系数 $R^{2}$ 越大，模型的拟合效果越差 D、经验回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 经过所有样本点 $(x_{i}, y_{i})$

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11、已知函数 $f (x) = 2 a^{x} - e x^{2} (a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ， $e$ 为自然对数的底数 $)$ 恰有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{e}, e)$ B、 $(0, \frac{1}{e})$ C、 $(e, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{e},1) \cup (1,e)$

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12、若 ${(1 - 2 x)}^{2024} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{2024} x^{2024}$ ，则 $|a_{0}| + |a_{1}| + |a_{2}| + \cdot \cdot \cdot |a_{2024}| =$ （）

A、4048 B、 $2^{2024}$ C、1 D、 $3^{2024}$

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13、直线 $y = 2 x + a$ 与曲线 $f (x) = b x^{2} + x - 2 ln x$ 相切于点 $(2, f (2))$ ，则 $a b$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- 2 ln 2$ C、 $- ln 2$ D、 $2 - ln 2$

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14、已知随机变量 $X \sim B (4, p)$ ，若方差 $D (X) = \frac{3}{4}$ ，则 $P (X = 2)$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{128}$ B、 $\frac{9}{256}$ C、 $\frac{27}{256}$ D、 $\frac{27}{128}$

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15、已知函数 $f (x) = sin x + cos x - 2 x$ ，若 $a = f (lg \frac{1}{2}), b = f (ln 3), c = f ({(- 1)}^{0})$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $c > b > a$

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16、求整数的正整数因数时可将其改写成若干个质数的乘积，例如 $12 = 3^{1} \times 2^{2}, 12$ 的正整数因数只需分别从 $\{3^{0}, 3^{1}\}, \{2^{0}, 2^{1}, 2^{2}\}$ 中各选一个元素相乘即可，则500的正整数因数的个数为（）

A、12 B、15 C、16 D、18

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17、已知某独立性检验中，由 $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ 计算出 $χ^{2} = χ_{1}^{2}$ ，若将 $2 \times 2$ 列联表中的数据 $a, b, c, d$ 分别变成 $2 a, 2 b, 2 c, 2 d$ ，计算出的 $χ^{2} = χ_{2}^{2}$ ，则（）

A、 $χ_{2}^{2} = χ_{1}^{2}$ B、 $χ_{2}^{2} = 2 χ_{1}^{2}$ C、 $χ_{1}^{2} = 2 χ_{2}^{2}$ D、 $χ_{2}^{2} = 4 χ_{1}^{2}$

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18、若函数 $f (x) = e^{x} - x - 1$ （ $e$ 为自然对数的底数），则 $f^{'} (0) =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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19、若函数 $f (x)$ 在定义域区间 $[a, b]$ 上连续，对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [a, b]$ 恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称函数 $f (x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的上凸函数，若恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称函数 $f (x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的下凸函数，当且仅当 $x_{1} = x_{2}$ 时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点，即若 $f (x)$ 是上凸函数，则对任意 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n} \in [a, b]$ 恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$ ，若 $f (x)$ 是下凸函数，则对任意 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n} \in [a, b]$ 恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$ ，当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n}$ 时等号成立．应用以上知识解决下列问题：

(1)、判断函数 $f (x) = x^{2} + 1 (x \in R)$ 在定义域上是上凸函数还是下凸函数（说明理由）；

(2)、证明 $h (x) = \sin x$ ， $x \in (0, π)$ 上是上凸函数；

(3)、若A、B、C、 $D \in (0, π)$ ，且 $A + B + C + D = π$ ，求 $\sin A + \sin B + \sin C + \sin D$ 的最大值．

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20、已知函数 $f (x) = - 1 + 4 \sin (x + \frac{π}{6}) \cos x (x \in R)$

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值，以及 $f (x)$ 取得最小值时x的集合；

(2)、已知 $\frac{π}{2} < β < α < π$ ， $f (\frac{α - β}{2} - \frac{π}{12}) = \frac{8}{5}$ ， $f (\frac{β}{2} + \frac{π}{6}) = - \frac{10}{13}$ ，求 $\cos α$ 的值．

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$X$	$x_{1}$		$x_{2}$		$x_{3}$
$P$	$a$		$b$		$c$
$Y$		$\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$		$\frac{x_{2} + x_{3}}{2}$		$\frac{x_{1} + x_{3}}{2}$
$P$		$a$		$b$		$c$