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相关试卷

1、某校高二级学生参加某次考试，其数学成绩 $X \sim N (100, a^{2}) (a > 0)$ ，试卷满分150分，统计结果显示 $P (X \leq 90) = \frac{1}{10}$ ，则 $P (100 < X < 110) =$ （　　）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{9}{10}$

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2、函数 $f (x) = x e^{x}$ 在 $x = 1$ 处的切线斜率为（　　）

A、 $1$ B、 $e$ C、 $2 e$ D、 $4 e$

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3、已知新同学小王每天中午会在自己学校提供A、B两家餐厅中选择就餐，小王第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐、如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4，如此往复.

(1)、求小王第2天中午去A餐厅用餐的概率；

(2)、求小王第i天中午去B餐厅用餐的概率 $P_{i}$ ；

(3)、已知：若随机变量 $X_{i}$ 服从两点分布，
且 $P (X_{i} = 1) = 1 - P (X_{i} = 0) = q_{i}, i = 1, 2 ， \dots ， n$ ，则 $E （ \sum_{i = 1}^{n} X_{i} ） = \sum_{i = 1}^{n} q_{i}$ .记前n次（即从第1次到第n次午餐）中小王去B餐厅用午餐的次数为Y，求 $E (Y)$ .

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4、已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{a}{x} - 1, a \in R$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求曲线 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 无零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若存在 $x \in [1, + \infty)$ ，使得 $f (x) \geq x - a \ln x - 1$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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5、已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{a_{1}}{3} + \frac{a_{2}}{3^{2}} + \frac{a_{3}}{3^{3}} + \dots + \frac{a_{n}}{3^{n}} = n^{2}$ ，在数列 ${b_{n}}$ 中， $b_{1} = 0$ ，且对任意正整数 $n$ 都有 $b_{n + 1} - b_{n} = 4 n - 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $C_{n} = \frac{b_{n}}{a_{n}}$ ，求数列 ${C_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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6、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} - a^{2} x + 1$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的极值点；

(2)、当 $0 \leq a \leq 2$ 时，是否存在实数a，使得 $f (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 的最小值为0，且最大值为1?若存在，求出a的所有值；若不存在，请说明理由.

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7、2024年7月将在法国巴黎举行第33届夏季奥林匹克运动会，首次把霹雳舞、冲浪、滑板和竞技攀岩列入比赛项目，其中霹虏舞是一种节奏感强烈、动作炫酷的舞蹈.已知某校高一年级有2名女生1名男生、高二年级有1名女生3名男生擅长霹雳舞，实力相当，学校随机从中选取4人组建校队参加市级比赛、设校队中女生人数为X.

(1)、求校队中至少有2名高二年级同学的选法有多少种?

(2)、求X的分布列及均值.

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8、若存在非负实数 $a ， b$ 满足 $e^{a + 4 b} \leq 4 e \sqrt{a b}$ （e为自然对数的底数），则 $\frac{a}{b}$ 的值为.

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9、已知随机变量 $X$ 的分布列如表：
$X$
$- 1$
1
2
$P$
$m$
$\frac{1}{3}$
$n$
若 $E (X) = 0$ ，则 $σ (3 X - 1) =$

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，首项 $a_{1} = 1$ ，且满足 $a_{n + 1} = \frac{1}{4} (3 - cos [(n + 1) π]) a_{n} - {(- 1)}^{n} n {(\sqrt{2})}^{1 + cos(n π)}$ ，下列结论正确的（）

A、 $a_{3} = - \frac{5}{2}$ B、数列 $\{a_{2 n} - 2\}$ 是等比数列 C、 $a_{2 n + 1} = 2 - 4 n - {(\frac{1}{2})}^{n}$ D、 $S_{100} < S_{102}$

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11、已知 $\bar{A}$ 、 $\bar{B}$ 分别为随机事件 $A$ 、 $B$ 的对立事件， $P (A) > 0$ ， $P (B) > 0$ ，则下列结论一定成立的是（）

A、 $P (\bar{B} | \bar{A}) = P (B | A)$ B、 $P (B | A) + P (\bar{B} | A) = P (A)$ C、若 $P (B | A) = P (B)$ ，则 $P (A | B) = P (A)$ D、 $P (A B) \leq P (B | A)$

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12、庚续绵延鱼水情，军民携手谱新篇，绵阳市开展双拥百日宣传活动.某中学向全校学生征集“拥军优属，拥政爱民”主题作文，共收到500篇作品，由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于 $m$ 分为优秀，若征文得分 $X$ （单位：分）近似服从正态分布 $N (75, σ^{2})$ ，且及格率为 $80 %$ ，则下列说法正确的是（）

A、随机取1篇征文，则评分在 $[60, 90)$ 内的概率为 $0.6$ B、已知优秀率为 $20 %$ ，则 $m = 90$ C、 $σ$ 越大， $P (X \geq 75)$ 的值越小. D、 $σ$ 越小，评分在 $(70, 80)$ 的概率越大

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - a x + 1, x \leq 0 \\ (a - 1) x + \ln x + 1, x > 0 \end{cases}$ ，图象与x轴至少有一个公共点，则实数a的取值范围为（）

A、 $[- 2, + \infty)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(- \infty, - 2] \cup [0, + \infty)$ D、 $(- 1, + \infty) \cup \{- 2\}$

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14、某高校派出5名学生去三家公司实习，每位同学只能前往一家公司实习，并且每个公司至少有一名同学前来实习，已知甲乙两名同学同时去同一家公司实习，则不同的安排方案有（）

A、48种 B、36种 C、24种 D、18种

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15、某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为 $\frac{1}{3}$ ，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（）

A、 $\frac{5}{27}$ B、 $\frac{4}{27}$ C、 $\frac{8}{81}$ D、 $\frac{1}{9}$

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16、已知 $y = f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，如图所示，则 $f (x)$ 的大致图象为（     ）


A、    B、    C、    D、

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17、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $\frac{a_{4}^{2}}{2 a_{3} + a_{6}} = 4$ ，则 $S_{7} =$ （）

A、32 B、64 C、84 D、108

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18、现有 $3$ 名学生，每人从四大名著《水浒传》，《三国演义》，《西游记》，《红楼梦》中选择一种进行阅读，每人选择互不影响，则不同的选择方式有（）

A、 $3^{4}$ 种 B、 $4^{3}$ 种 C、 $C_{4}^{3}$ 种 D、 $A_{4}^{3}$ 种

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19、已知 ${(x + 1)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{7} x^{7}$ ，则 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{7} =$ （）

A、32 B、64 C、127 D、128

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20、已知首项为 $- 1$ 的数列 $\{a_{n}\}$ ，满足 $a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}}$ ，则（）

A、 $a_{1} = a_{4}$ B、 $a_{1} < a_{4}$ C、 $a_{2} = a_{3}$ D、 $a_{2} < a_{3}$

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$X$	$- 1$	1	2
$P$	$m$	$\frac{1}{3}$	$n$