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相关试卷

1、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数．已知函数 $f (x) = \frac{4}{2^{x} + 2}$ ，则下列结论正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的值域为 $(0, 2]$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 1)$ 成中心对称图形 C、函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 D、若函数 $g (x)$ 满足 $y = g (x + 1) - 1$ 为奇函数，且其图象与函数 $f (x)$ 的图象有2024个交点，记为 $A_{i} (x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, 2024)$ ，则 $\sum_{i = 1}^{2024} (x_{i} + y_{i}) = 4048$

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2、已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $a + b = 2$ ，则（）

A、 $2^{a} + 2^{b} \geq 2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2$ C、 ${log}_{2} a + {log}_{2} b \leq 1$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq 2$

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3、已知函数 $f (x) = x + ln (\sqrt{4 x^{2} + 1} + 2 x) + 2$ .若 $\forall x \in R$ ，不等式 $f (|2 x - a|) \geq 4 - f (|3 x - 2 a| - a^{2})$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$ B、 $(- \infty, - \frac{1}{3}] \cup [\frac{1}{3}, + \infty)$ C、 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup [\frac{1}{2}, + \infty)$

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4、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到点 $N (0, 2)$ 的距离为 $\sqrt{5}$ ， $A$ ， $B$ 为抛物线 $C$ 上两个动点，且线段 $A B$ 的中点 $M$ 在直线 $l : y = x$ 上．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、求 $△ N A B$ 面积的取值范围．

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5、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ，底面 $△ A B C$ 是正三角形， $A B = A A_{1} = 3$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $A B$ 、 $A_{1} C_{1}$ 上，且 $A E = \frac{1}{3} A B$ ， $C_{1} F = \frac{1}{3} A_{1} C_{1}$ ．

(1)、求证： $A_{1} E //$ 平面 $B C F$ ；

(2)、求直线 $B B_{1}$ 与平面 $B C F$ 所成角的余弦值．

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6、致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动．并对某年级的100位学生竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表．规定：成绩在 $[80, 100]$ 内，为成绩优秀．
成绩
$[30, 40)$
$[40, 50)$
$[50, 60)$
$[60, 70)$
$[70, 80)$
$[80, 90)$
$[90, 100]$
人数
5
10
15
25
20
20
5

(1)、根据以上数据完成 $2 \times 2$ 列联表，并判断是否有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关；
优秀
非优秀
合计
男
10
女
35
合计

(2)、某班级实行学分制，为鼓励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案：规定成绩达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为 $p$ （每次抽奖互不影响，且 $p$ 的值等于成绩分布表中不低于80分的人数频率），中奖1次学分加5分，中奖2次学分加10分．若学生甲成绩在 $[80, 100]$ 内，请列出其本次读书活动额外获得学分数 $X$ 的分布列并求其数学期望．
参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．
附表：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879

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7、已知函数 $f (x) = \frac{3}{2} x^{2} - 4 a x + 9 ln x$ 在 $x = 3$ 处取得极值．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[e, e^{2}]$ 上的最小值．

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8、在公差为3的等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $3 a_{2} + 1 = a_{5}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = 2^{a_{n} + 2} (n \in N^{*})$

(1)、求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，求 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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9、“杨辉三角”最早出现在中国数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，是中国古代数学文化的瑰宝之一.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为 $a_{1}$ ，第3行的第3个数字为 $a_{2}$ 、⋯，第 $n + 1$ 行的第3个数字为 $a_{n}$ ，则 $a_{6} =$ ，数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ ．

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10、已知函数 $f (x) = 2 e^{x} - 2 m x + 3$ 的图象为曲线 $C$ ，若曲线 $C$ 存在与直线 $y = x$ 垂直的切线，则实数 $m$ 的取值范围是．

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11、有2名老师和3名学生站成一排照相，若这2名老师都不站在两端，则不同的站法共有种．（用数字作答）

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12、如图、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = D D_{1} = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是 $A B$ ， $B C$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点．则下列说法正确的是（）

A、 $D_{1} C / /$ 平面 $G E F$ B、 $B_{1} C ⊥ D_{1} E$ C、三棱锥 $B - G E F$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、若点 $P$ 在平面 $A B C D$ 内，且 $D_{1} P / /$ 平面 $G E F$ ，则线段 $D_{1} P$ 长度的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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13、某所高中的辩论队要从5名高一学生和4名高二学生中选出4人去参加一场辩论比赛．下列说法正确的是（　　）

A、被选中的4人中恰有1名高一学生的概率为 $\frac{10}{63}$ B、被选中的4人中恰有1名高二学生的概率为 $\frac{10}{63}$ C、如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，则有105种选法 D、如果高一学生中的甲和高二学生中的乙至多有1人入选，则有140种选法

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14、定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ ，其导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A、 $f (- 2)$ 是 $f (x)$ 的极小值， $f (1)$ 是 $f (x)$ 的极大值 B、 $f (- 1)$ 是 $f (x)$ 的极大值， $f (1)$ 是 $f (x)$ 的极小值 C、 $f (x)$ 在 $(- \infty, - 2)$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 上单调递减

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15、把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个.其中，第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为（）

A、0.59 B、0.41 C、0.48 D、0.64

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16、近年来，潮州以其品种繁多的美味小吃、独特的文化魅力和民俗风情吸引八方游客.据统计，潮州古城区2019年至2023年（用 $x = 1, 2, 3, 4, 5$ 表示年份）接待的游客人数 $y$ （十万人）的数据如下表：
$x$
1
2
3
4
5
$y$
12
15
19
24
30
由此得到 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程为 $y = b x + 4.4$ ，则可以预测潮州古城区2024年接待的游客人数约为（　　）十万人

A、36.5 B、37 C、35.2 D、35.6

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17、椭圆 $M$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 且与长轴垂直的直线交椭圆 $M$ 于 $A$ ， $B$ 两点．若 $△ A B F_{2}$ 为等边三角形，则椭圆 $M$ 的离心率为（　　）．

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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18、已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} - 2 x$ ，若 $f (x)$ 在 $(1, 2)$ 上单调递减．则实数 $a$ 的取值范围是（　　）

A、 $a > \frac{1}{2}$ B、 $a \geq \frac{5}{2}$ C、 $a > \frac{5}{2}$ D、 $a \geq \frac{1}{2}$

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19、 ${(a - 2 b)}^{6}$ 的展开式中 $a^{4} b^{2}$ 的系数为（　　）．

A、60 B、120 C、15 D、30

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20、已知随机变量 $X$ 的分布列为：
$X$
1
2
3
4
5
$P$
0.1
0.3
$a$
0.1
0.1
则 $E (X) =$ （　　）．

A、0.4 B、1.2 C、1.6 D、2.8

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成绩	$[30, 40)$	$[40, 50)$	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$	$[90, 100]$
人数	5	10	15	25	20	20	5

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.150	0.100	0.050	0.010	0.005
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	6.635	7.879

	优秀	非优秀	合计
男	10
女		35
合计

$x$	1	2	3	4	5
$y$	12	15	19	24	30

$X$	1	2	3	4	5
$P$	0.1	0.3	$a$	0.1	0.1