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相关试卷

1、某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的9名选手来自于3个不同的班级，三个班级的选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行8场比赛，每场比赛采取5局3胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军．如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以 $3 : 0$ 或 $3 : 1$ 取胜的选手积3分，失败的选手积0分；而在比赛中以 $3 : 2$ 取胜的选手积2分，失败的选手积1分．已知第6场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为 $p (0 < p < 1)$ ．

(1)、若进入决赛的9名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少？

(2)、在第6场比赛中，当 $p = \frac{2}{3}$ 时，设甲所得积分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及期望

(3)、在第6场比赛中，记甲 $3 : 1$ 取胜的概率为 $f (p)$ ，求 $f (p)$ 的最大值．

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2、如图，四边形 $A C C_{1} A_{1}$ 与四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 是全等的矩形， $A C ⊥ B C$ ， $A A_{1} = 2 A C = 2$ ， P为 $A A_{1}$ 上的动点．

(1)、若P为 $A A_{1}$ 的中点，求证： $C P ⊥$ 平面 $P B_{1} C_{1}$ ；

(2)、若直线 $B_{1} P$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的正切值为 $\frac{3}{5}$ ，求平面 $C P B_{1}$ 与平面 $P B_{1} C_{1}$ 夹角的余弦值．

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3、为了对高中生进行职业规划教育，让高中生了解信息技术发展的前沿，体验典型人工智能技术的应用感受和人工智能对学习和生活的影响，激发学生对信息技术未来的追求，某市计划在高一年级推广开设人工智能研究性学习课程．为调研学生对人工智能的兴趣，随机从某校高一年级学生中抽取了100人进行调查，其中数据如下表：
有兴趣
没兴趣
合计
男生
48
2
50
女生
32
18
50
合计
80
20
100

(1)、依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析高一学生对人工智能有兴趣与性别是否有关？

(2)、以该100名高一学生对人工智能有兴趣的频率作为全市高一学生对人工智能有兴趣的概率，从全市的高一学生中随机抽取5名学生，记X为这5名学生中对人工智能有兴趣的学生人数，求X的期望与方差．
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．
参考数据：
$α$
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
7.879
10.828

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是正项等比数列，且 $b_{4} - b_{1} = 7$ ， $b_{2} b_{3} = 8$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、从下面①②两个条件中选择一个作为已知条件，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．
① $c_{n} = \frac{1}{a_{n + 1} \cdot \log_{2} b_{2 n}}$ ；② $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ．

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5、丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上的导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f^{'} (x)$ 在 $(a, b)$ 上的导函数为 $f^{″} (x)$ ，若在 $(a, b)$ 上 $f^{″} (x) < 0$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上为“凸函数”，已知 $f (x) = e^{x} - x \ln x - \frac{m}{2} x^{2}$ 在 $(1, 2)$ 上为“凸函数”，则实数m的取值范围是．

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6、已知直线 $x - m y - \sqrt{3} = 0$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} = 4$ 交于A，B两点，写出满足“ $△ A B C$ 面积为 $\sqrt{3}$ ”的m的一个值．

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7、在正项无穷数列 $\{a_{n}\}$ 中，若对任意的 $n \in N^{*}$ ，都存在 $m \in N^{*}$ ，使得 $a_{n} a_{n + 2 m} = {(a_{n + m})}^{2}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 为m阶等比数列．在无穷数列 $\{b_{n}\}$ 中，若对任意的 $n \in N^{*}$ ，都存在 $m \in N^{*}$ ，使得 $b_{n} + b_{n + 2 m} = 2 b_{n + m}$ ，则 $\{b_{n}\}$ 称为m阶等差数列，下列说法正确的是（）

A、若 $\{a_{n}\}$ 为1阶等比数列， $a_{1} + a_{2} + a_{3} = \frac{5}{4}$ ， $a_{3} + a_{4} + a_{5} = \frac{5}{16}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 为等比数列且公比2 B、若 $\{b_{n}\}$ 为1阶等差数列， $\{b_{n}\}$ 共有30项，其中奇数项之和为20，偶数项之和为50，则 $\{b_{n}\}$ 为等差数列且公差为2 C、若 $\{a_{n}\}$ 为m阶等比数列，则 $\{\ln a_{n}\}$ 为m阶等差数列 D、若 $\{a_{n}\}$ 既是3阶等比数列，又是4阶等比数列，则 $\{a_{n}\}$ 是等比数列

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8、在正方体中，下列说法正确的是（）

A、正方体的8个顶点可以确定28条不同的线段 B、以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有12个 C、以正方体的顶点为顶点的三棱锥有64个 D、以正方体的顶点为顶点的四棱锥有48个

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9、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{m + 1} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P是椭圆C上任意一点（非长轴的顶点），则下列说法正确的是（）

A、椭圆C的焦点坐标为 $(\pm 1, 0)$ B、当 $m = 1$ 时，椭圆C的离心率为 $\frac{1}{2}$ C、当 $m = 3$ 时， $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为6 D、若椭圆C的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积的最大值是 $2 \sqrt{3}$

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10、设事件A，B满足 $A \subseteq B$ ，且 $P (A) = 0.3$ ， $P (B) = 0.6$ ，则 $P (B |\bar{A}) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{4}{7}$

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = \frac{1}{2} {(- 1)}^{n} + 2^{n + 1} - \frac{5}{2}$ ，设 $b_{n} = a_{n} - 2^{n}$ ，则 $\{b_{n}\}$ 的前11项和为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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12、已知曲线 $y = x + \ln x$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线与曲线 $y = a x^{2} + (a + 2) x + 1$ 有且仅有一个公共点，则实数a的值是（）

A、 $- 8$ B、0 C、0或8 D、8

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13、某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩X服从正态分布 $N (95, 8^{2})$ ，将考试成绩从高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分为A，B，C，D四个等级．若小明的数学成绩为105分，则属于等级（）
（附： $P (μ - σ < X < μ + σ) \approx 0.68$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) \approx 0.95,$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) \approx 0.99$ ）

A、A B、B C、C D、D

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14、由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 下支的一部分，离心率为 $2$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、 $y = \pm x$ D、 $y = \pm 2 x$

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15、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{5} - a_{2} = 6$ ，若直线l过点 $M (m, a_{m})$ ， $N (n, a_{n}) (m \neq n, m, n \in N^{*})$ ，则直线l的斜率为（）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、2 D、3

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16、一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了6次试验，收集数据如下表所示，建立加工时间关于零件数的一元线性回归模型，则回归直线必过点（）
零件数 $x$ 个
50
60
70
80
90
100
加工时间 $y$ min
88
95
102
108
115
122

A、 $(75, 102)$ B、 $(75, 105)$ C、 $(80, 108)$ D、 $(80, 105)$

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17、已知函数 $f (x) = \sqrt{x}$ ，则 $f^{'} (2) =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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18、记 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = b c$ ， $\sin A = \sqrt{7} \sin C$ ．

(1)、求 $\frac{b}{c}$ 的值；

(2)、若 $\vec{C D} = 2 \vec{D A}$ ，且 $B D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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19、已知四面体 $A B C D$ 的每个顶点都在球O（О为球心）的球面上， $△ A B C$ 为等边三角形， $A B = B D = 2$ ， $A D = \sqrt{2}$ ，且 $A C ⊥ B D$ ，则二面角 $A - C D - O$ 的正切值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{6}$

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20、已知向量 $\vec{a} = (0, 1), \vec{b} = (2, x)$ ，若 $\vec{b} ⊥ (\vec{b} - 4 \vec{a})$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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	有兴趣	没兴趣	合计
男生	48	2	50
女生	32	18	50
合计	80	20	100

零件数 $x$ 个	50	60	70	80	90	100
加工时间 $y$ min	88	95	102	108	115	122

$α$	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	7.879	10.828