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相关试卷

1、已知在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\frac{\sin C}{a + b} = \frac{\cos (\frac{π}{2} - A) - \sin B}{a - c}$

(1)、求角B；

(2)、若点D在 $A C$ 上， $B D$ 为 $∠ A B C$ 的角平分线， $B D = 2 \sqrt{3}$ ，求 $2 a + c$ 的最小值．

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2、2024年5月3日，搭载嫦娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭，在中国文昌航天发射场成功发射，这是我国航天器继嫦娥五号之后，第二次实现月球轨道交会对接，为普及探月知识，某校开展了“探月科普知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“探月达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)、估计参加这次竞赛的学生成绩的 $75 %$ 分位数；

(2)、若在抽取的80名学生中，从成绩在 $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 中采用分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中选择2人，求被选中的2人均为“探月达人”的概率．

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3、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 4)$ ， $\vec{b} = (2, - 1)$

(1)、求 $|\frac{5}{7} \vec{a} - \frac{8}{7} \vec{b}|$ ；

(2)、若向量 $\vec{c} = (2, m)$ ，向量 $m \vec{a} + \vec{c}$ 与向量 $\vec{a} + m \vec{b}$ 共线，求m的值．

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4、窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形 $A B C D E F G H$ 的边长为4，P是正八边形 $A B C D E F G H$ 内的动点（含边界），则 $\vec{A P} \cdot \vec{A B}$ 的取值范围为．

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5、若函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ $(A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，则函数 $y = f (x)$ 的解析式为．

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6、已知角α的终边经过点 $P (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $\tan α$ 的值为．

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7、将函数 $y = \sin x + 1$ 图象上所有的点向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，再把所得各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2 π}$ （纵坐标不变）得到函数 $y = f (x)$ 的图象，则下列关于 $y = f (x)$ 说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为1 B、 $f (x)$ 在 $[- \frac{5 π}{12}, \frac{π}{12}]$ 上为增函数 C、对于任意 $x \in R$ 都有 $f (x + \frac{2}{3}) + f (- x) = 2$ D、若方程 $f (\frac{1}{2} ω x) = 1 (ω > 0)$ 在 $[0, 2)$ 上有且仅有4个根，则 $ω \in [\frac{11}{6}, \frac{7}{3}]$

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8、已知事件A、B发生的概率分别为 $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若A与B相互独立，则 $P (A \cup B) = \frac{1}{2}$ B、若 $P (A \bar{B}) = \frac{1}{4}$ ，则事件A与 $\bar{B}$ 相互独立 C、若A与B互斥，则 $P (A \cup B) = \frac{1}{2}$ D、若B发生时A一定发生，则 $P (A B) = \frac{1}{4}$

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9、已知复数 $z = 2 + 3 i$ （ $i$ 是虚数单位），则下列正确的是（）

A、 $|z| = \sqrt{13}$ B、z的虚部是3 C、若 $z + t i$ 是实数，则 $t = 0$ D、复数z的共轭复数为 $\bar{z} = - 2 + 3 i$

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10、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x + y) = f (x) + f (y) - 2$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、函数 $f (x) - 2$ 是奇函数 C、若 $f (2) = 2$ ，则 $f (2024) = - 2$ D、函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 单调递减

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11、遵义市正安县被誉为“中国吉他之乡”，正安县地标性建筑“大吉他”位于正安县吉他广场的中心，现某中学数学兴趣小组准备在吉他广场上对正安“大吉他”建筑的高度进行测量，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距30米的C、D两观测点，且C、D与“大吉他”建筑的底部B在同一水平面上，在C、D两观测点处测得“大吉他”建筑顶部A的仰角分别为 $45 °$ ， $30 °$ ，测得 $∠ C B D = 30 °$ ，则“大吉他”建筑 $A B$ 的估计高度为多少米（）

A、 $30 \sqrt{3}$ 米 B、34米 C、 $34 \sqrt{2}$ 米 D、30米

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12、已知 $A (1, 2)$ ， $B (2, 3)$ ， $C (- 2, 5)$ ，则三角形 $A B C$ 的面积为（）

A、3 B、5 C、7 D、8

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13、某中学高一年级甲、乙两班参加了物理科的调研考试，其中甲班40人，乙班35人，甲班的平均成绩为82分，乙班的平均成绩为85分，那么甲、乙两班全部75名学生的平均成绩是多少分（）

A、82.4 B、82.7 C、83.4 D、83.5

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14、已知 $\sin α = \frac{3}{4}$ ，且 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $\sin 2 α =$ （）

A、 $- \frac{3 \sqrt{7}}{8}$ B、 $\frac{3 \sqrt{7}}{8}$ C、 $- \frac{9 \sqrt{7}}{14}$ D、 $\frac{9 \sqrt{7}}{14}$

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15、如图，向量 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{B D} = \vec{b}$ ， $\vec{D C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{A C}$ 向量可以表示为（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$

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16、在 $△ A B C$ 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若 $a = 10$ ， $b = 14$ ， $B = \frac{2 π}{3}$ ，则 $\sin A =$ （）

A、 $- \frac{5 \sqrt{3}}{14}$ B、 $\frac{5}{14}$ C、 $- \frac{5}{14}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{14}$

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17、已知集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ， $A = \{1, 2, 3, 4\}$ ， $B = \{3, 4, 5, 6\}$ ，则 $∁_{U} (A \cap B) =$ （）

A、 $\{1, 3, 5\}$ B、 $\{2, 4, 6\}$ C、 $\{1, 2, 5, 6\}$ D、 $\{3, 5, 6\}$

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18、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2, G, H$ 分别是棱 $B B_{1}, C C_{1}$ 的中点， $M$ 是棱 $C_{1} D_{1}$ 上的一点，点 $N$ 在棱 $A B$ 上， $B N = \frac{1}{2}, H C E - G B F$ 是三棱柱， $B, C$ 分别是线段 $A F, D E$ 的中点．

(1)、证明：直线 $G N ⊥$ 平面 $E F G H$ ；

(2)、若四棱锥 $M - E F G H$ 的体积为 $\frac{\sqrt{5}}{6}$ ，求 $D_{1} M$ 的长度．

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19、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $C = \frac{π}{2}, A = \frac{π}{3}, A B = 2, O$ 为斜边 $A B$ 的中点，点 $M, N$ 分别在边 $A C, B C$ 上（不包括端点）， $∠ M O N = \frac{2 π}{3}$ ，若 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} = - \frac{1}{4}$ ，则 $∠ B O N =$ ．

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20、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 是上底面 $A B C D$ 的中心， $E, F$ 分别为 $A B, A D$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、 $A_{1} O ⊥ E F$ B、直线 $A_{1} O$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成角的正切值为 $\sqrt{2}$ C、平面 $E F B_{1}$ 与平面 $B B C_{1} C$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ D、异面直线 $A_{1} O$ 与 $B_{1} E$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{10}$

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