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相关试卷

1、设数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1}$ 为常数 $(a_{1} \neq \frac{3}{5})$ ，且 $a_{n + 1} = 3^{n} - 2 a_{n} (n \in N^{*})$ ．

(1)、证明： $\{a_{n} - \frac{3^{n}}{5}\}$ 是等比数列；

(2)、若 $a_{1} = \frac{3}{2}, \{a_{n}\}$ 中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项：若不存在，请说明理由．

(3)、若 $\{a_{n}\}$ 是递增数列，求 $a_{1}$ 的取值范围．

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2、已知复数 $z = 2 - 3 i$ ，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（）

A、z的模等于13 B、z在复平面内对应的点位于第四象限 C、z的共轭复数为 $- 2 - 3 i$ D、若 $z (m + 4 i)$ 是纯虚数，则 $m = - 6$

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3、设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \{\begin{matrix} a x ^{3} - x, x > a \\ - x ^{2}, x \leq a \end{matrix}$ 给出下列四个结论：
①当 $a = 0$ 时，函数 $f (x)$ 的最大值为0；
②当 $a = 7$ 时，函数 $f (x)$ 是增函数；
③若函数 $f (x)$ 存在两个零点，则 $0 < a < 1$ ；
④若直线 $y = a x$ 与曲线 $y = f (x)$ 恰有2个交点，则 $a < 0$ .
其中所有正确结论的序号是.

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4、已知函数 $f (x) = a e^{x}, g (x) = \ln x + b (a, b \in R)$ .

(1)、当 $b = 1$ 时， $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、已知直线 $l_{1} 、 l_{2}$ 是曲线 $y = g (x)$ 的两条切线，且直线 $l_{1} 、 l_{2}$ 的斜率之积为1.
（i）记 $x_{0}$ 为直线 $l_{1} 、 l_{2}$ 交点的横坐标，求证： $x_{0} < 1$ ；
（ii）若 $l_{1} 、 l_{2}$ 也与曲线 $y = f (x)$ 相切，求 $a, b$ 的关系式并求出 $b$ 的取值范围.

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5、已知函数 $f (x) = e^{x} - a (x + 2)$ .
（1）当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；
（2）若 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围.

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6、已知 $\vec{a} = (2 \sin x, \cos^{2} x)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3} \cos x, 2)$ ， $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．
（1）求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递减区间；
（2）求函数 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值．

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7、已知两个不同的正数 $a, b$ 满足 $\frac{{(1 + a)}^{3}}{a} = \frac{{(1 + b)}^{3}}{b}$ ，则 $a b$ 的取值范围是．

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8、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，设 ${(sin B - sin C)}^{2} = {sin}^{2} A - sin B sin C$ ，则 $A =$ .

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9、已知复数 $z = a + b i (a \neq 0, a, b \in R)$ ，则当 $\frac{b}{a} =$ 时，复数 $\frac{z}{1 + i}$ 对应的点在虚轴上.

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10、设函数 $f (x) = 1 - \frac{ln |x|}{x}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、当 $x > 0$ 时， $f (x)$ 的最小值为 $1 - \frac{1}{e}$ C、若函数 $g (x) = f (x) - a$ 有四个零点，则实数 $a$ 的取值范围是 $(1 - \frac{1}{e}, 1 + \frac{1}{e})$ D、函数 $y = f (x) + f (2 x)$ 的图象关于点 $(0, 2)$ 对称

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11、已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{2}, 1), \vec{b} = (cos θ, sin θ) (0 \leq θ \leq π)$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $tan θ = \sqrt{2}$ B、若 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $- \frac{\vec{a}}{2 |\vec{a}|}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ C、存在 $θ$ ，使得 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ D、 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最大值为 $\sqrt{3}$

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12、已知函数 $f (x) = sin (x - \frac{π}{3})$ ，则（）

A、 $2 π$ 为 $f (x)$ 的一个周期 B、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{4 π}{3}$ 对称 C、 $f (x + π)$ 的一个零点为 $\frac{π}{3}$ D、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递减

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13、函数 $f (x) = x \sin x - x - 1$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的零点个数为（）

A、无穷多个 B、4个 C、2个 D、0个

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14、已知 $\sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{4}{5}$ ，则 $\sin (2 α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{24}{25}$ B、 $- \frac{24}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $- \frac{7}{25}$

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15、某饮料厂生产 $A, B$ 两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为 $40 %, 60 %$ ，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为 $20 %, 80 %$ ，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为（）

A、0.12 B、0.20 C、0.44 D、0.32

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16、2023年第19届亚运会在杭州举行，亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示：若y与x线性相关，且线性回归方程为 $\hat{y} = - 0.6 x + \hat{a}$ ，则下列说法不正确的是（）
时间x
1
2
3
4
5
销售量y/万只
5
4.5
4
3.5
2.5

A、由题中数据可知，变量y与x负相关 B、当 $x = 5$ 时，残差为0.2 C、可以预测当 $x = 6$ 时销量约为2.1万只 D、线性回归方程 $\hat{y} = - 0.6 x + \hat{a}$ 中 $\hat{a} = 5.7$

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17、设 $a = ln 1$ ， $b = {log}_{2} 3$ ， $c = 2^{\sqrt{2}}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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18、已知 $a > 0, b > 0$ ，设甲： $a - b > 1$ ，乙： $\sqrt{a} - \sqrt{b} > 1$ ，则（）

A、甲是乙的充分不必要条件 B、甲是乙的必要不充分条件 C、甲是乙的充要条件 D、甲是乙的既不充分也不必要条件

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19、集合 $A = \{x |2 \leq x < 4\} ， B = \{x |x - 1 \geq 8 - 2 x\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[2, 4)$ B、 $[3, 4)$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $[3, + \infty)$

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20、将连续正整数1，2， $\dots$ ， $n (n \in N^{*})$ 从小到大排列构成一个数 $123 \dots n$ ， $F (n)$ 为这个数的位数 $($ 如当 $n = 12$ 时，此数为123456789101112，共有15个数字， $F (12) = 15)$ ，现从这个数中随机取一个数字， $p (n)$ 为恰好取到0的概率.

(1)、求 $p (100) .$

(2)、当 $n \leq 2021$ 时，求 $F (n)$ 的表达式.

(3)、令 $g (n)$ 为这个数中数字0的个数， $f (n)$ 为这个数中数字9的个数， $h (n) = f (n) - g (n)$ ， $S = \{n | h (n) = 1, n \leq 100, n \in N^{*}\}$ ，求当 $n \in S$ 时 $p (n)$ 的最大值.

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时间x	1	2	3	4	5
销售量y/万只	5	4.5	4	3.5	2.5