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相关试卷

1、规定 $C_{x}^{m} = \frac{x (x - 1) \dots (x - m + 1)}{m ！}$ ，其中 $x \in R, m$ 是正整数，且 $C_{x}^{0} = 1$ ，这是组合数 $C_{n}^{m}$ ( $n, m$ 是正整数，且 $m \leq n$ )的一种推广．

(1)、求 $C_{- 15}^{3}$ 的值；

(2)、设 $x > 0$ ，当 $x$ 为何值时， $\frac{C_{x}^{3}}{{(C_{x}^{1})}^{2}}$ 取得最小值?

(3)、组合数的两个性质：① $C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}$ ； ② $C_{n}^{m} + C_{n}^{m - 1} = C_{n + 1}^{m}$
是否都能推广到 $C_{x}^{m}$ ( $x \in R, m$ 是正整数)的情形?若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．

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2、现有两台车床加工同一型号的零件.第1台车床的正品率为 $95 %$ ，第2台车床的正品率为 $93 %$ ，将加工出来的零件混放在一起.已知第1，2台车床加工的零件数分别为总数的 $60 %, 40 %$ .

(1)、从混放的零件中任取1件，如果该零件是次品，求它是第2台车床加工出来的概率；

(2)、从混放的零件中可放回抽取10次，每次抽取1件，且每次抽取均相互独立.用 $X$ 表示这10次抽取的零件是次品的总件数，试估计 $X$ 的数学期望 $E (X)$ .

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3、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 \ln x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、设 $g (x) = x^{3} + \frac{3}{x} - 3$ ，证明： $f (x) \leq g (x)$

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4、 ${(x^{2} + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y})}^{7}$ 展开式中的常数项为.

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5、对于随机事件 $A, B$ ，记 $\bar{A}$ 为事件 $A$ 的对立事件，且 $P (A) = \frac{2}{3}, P (B ∣ A) = \frac{2}{5}, P (\bar{A} ∣ B) = \frac{3}{7}$ ，则 $P (B) =$ .

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6、关于函数 $f (x) = (2 x - x^{2}) e^{x}$ ，下列结论错误的是（）

A、 $f (x) > 0$ 的解集是 ${x | 0 < x < 2}$ B、 $f (- \sqrt{2})$ 是极小值， $f (\sqrt{2})$ 是极大值 C、 $f (x)$ 没有最小值，也没有最大值 D、 $f (x)$ 有最大值，没有最小值

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7、随机变量 $X \sim N (μ, σ^{2})$ 且 $P (X \leq 2) = 0.5$ ，随机变量 $Y \sim B (3, p)$ ，若 $E (Y) = E (X)$ ，则（）

A、 $μ = 2$ B、 $D (X) = 2 σ^{2}$ C、 $p = \frac{2}{3}$ D、 $D (3 Y) = 2$

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8、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f^{'} (x) - 2 f (x) < 0, f (0) = 1$ ，则（）

A、 $e^{2} f (- 1) < 1$ B、 $f (1) > e^{2}$ C、 $f (2) > e^{4}$ D、 $f (2) < e^{2} f (1)$

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9、将五本不同的书全部分给甲，乙，丙三人，要求每人至少分得一本，则不同的分法有（）

A、90种 B、150种 C、180种 D、250种

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10、已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (1, σ^{2})$ ，且 $P (ξ < 2) = 0.6$ ，则 $P (0 < ξ < 2)$ 等于（）

A、0.4 B、0.3 C、0.2 D、0.1

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11、已知随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = i) = \frac{i}{a} (i = 1, 2, 3, 4)$ ，则 $P (2 \leq X < 4) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{7}{10}$ D、 $\frac{9}{10}$

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12、已知函数 $f (x) = ln x - a x$ 在区间 $[1, 3]$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a \geq 1$ B、 $a > 1$ C、 $a \geq \frac{1}{3}$ D、 $a > \frac{1}{3}$

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13、设某商场今年上半年月销售额 $y$ （万元）关于月份 $x (x = 1, 2,$ … $, 6)$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = 1.2 x + a$ ，已知上半年的总销售额为 $120$ 万元，则该商场 $12$ 月份销售额预计为（）

A、 $24$ B、 $27.8$ C、 $30.2$ D、 $32$

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14、若 $A_{2 n}^{3} = 10 A_{n}^{3}$ ，则 $n =$ （）

A、7 B、8 C、9 D、10

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15、已知函数 $f (x) = x^{3} - x^{2} - x - 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) - c \leq 0$ 在区间 $[- 1, 2]$ 上恒成立，求实数 $c$ 的取值范围.

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16、已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - x$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的零点个数.

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17、2023年第三十一届世界大学生夏季运动会在成都举行，中国运动员在赛场上挥洒汗水､挑战极限､实现梦想.最终，中国代表团以103枚金牌､40枚银牌､35枚铜牌，总计178枚奖牌的成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，激发了大学生积极进行体育锻炼的热情.已知甲､乙两名大学生每天上午､下午都各用半个小时进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项目情况统计如下：
体育锻炼项目情况
（上午，下午）
（足球，足球）
（足球，羽毛球）
（羽毛球，足球）
（羽毛球，羽毛球）
甲
20天

10天
乙
10天
10天
5天
25天
假设甲､乙在上午､下午选择体育锻炼的项目相互独立，用频率估计概率.已知甲上午锻炼选择羽毛球的条件下，下午锻炼仍选择羽毛球的概率为 $\frac{2}{3}$ .

(1)、请将表格内容补充完整（写出计算过程）；

(2)、记 $X$ 为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数之差的绝对值.求 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ ；

(3)、已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为 $\frac{1}{3}$ ，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为 $\frac{3}{5}$ ，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率.

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，点 $E$ 是棱 $P D$ 上的一点， $P B //$ 平面 $A E C$ .

(1)、求证：点 $E$ 是棱 $P D$ 的中点；

(2)、若 $P A ⊥$ 平面 $A B C D, A P = 2, A D = 2 \sqrt{3}, P C$ 与平面 $P A D$ 所成角的正切值为 $\frac{1}{2}$ ，求二面角 $A - C E - D$ 的余弦值.

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 2 (n \in N^{*})$ ，公差 $d$ 不为0的等差数列 $\{b_{n}\}$ 中， $b_{1} = 3$ ，且 $b_{4}$ 是 $b_{2}$ 与 $b_{8}$ 的等比中项.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20、近年来我国新能源汽车产业迅速发展，下表是某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：
年份 $x$
$2018$
$2019$
$2020$
$2021$
$2022$
销量 $y$ （万台）
$1.60$
$1.70$
$1.90$
$2.20$
$2.60$
某机构调查了该地区 $100$ 位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：

购置传统燃油车
购置新能源车
总计
男性车主
$35$

$60$
女性车主

$25$

总计

$100$

(1)、求新能源乘用车的销量 $y$ 关于年份 $x$ 的线性相关系数 $r$ ，并判断 $y$ 与 $x$ 之间的线性相关关系的强弱；（若 $|r| \in [0.75, 1]$ ，相关性较强；若 $|r| \in [0.30, 0.75)$ ，相关性一般；若 $|r| \in [0, 0.30)$ ，相关性较弱）

(2)、请将上述 $2 \times 2$ 列联表补充完整，根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，分析购车车主购置新能源乘用车与性别是否有关系？
①参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} - n {\bar{y}}^{2}}}$ ；
②参考数据： $\sqrt{6.6} \approx 2.6$ ；
③卡方临界值表：
$α$
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
$χ_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
其中 $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .

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年份 $x$	$2018$	$2019$	$2020$	$2021$	$2022$
销量 $y$ （万台）	$1.60$	$1.70$	$1.90$	$2.20$	$2.60$

	购置传统燃油车	购置新能源车	总计
男性车主	$35$		$60$
女性车主		$25$
总计			$100$

$α$	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
$χ_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828