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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $Q - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，侧面 $Q A D$ 是正三角形，面 $Q A D ⊥$ 面 $A B C D$ ， $M$ 是 $Q D$ 的中点.

(1)、求证： $Q B$ ∥平面 $A M C$ ；

(2)、求直线 $A C$ 与平面 $Q C D$ 所成角的正弦值；

(3)、在棱 $Q C$ 上是否存在点 $N$ 使平面 $B D N ⊥$ 平面 $A M C$ 成立？如果存在，求出 $\frac{Q N}{N C}$ 如果不存在，说明理由.

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2、为了研究学生每天总结整理数学错题情况，某课题组在我市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时总结整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内总结整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上总结整理数学错题视为“经常总结整理”，少于4天视为“不经常总结整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常总结整理错题的学生占70%.

数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
经常总结整理

不经常总结整理

合计

(1)、根据图1、图2中的数据，补全表格；

(2)、求图1中m的值及学生期中考试数学成绩的第65百分位数；

(3)、抽取的100名学生中按“经常总结整理错题”与“不经常总结整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈；求这2名同学均来自“经常总结整理错题”的概率.

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3、已知有下面三个条件：
① $S = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\vec{A C} \cdot \vec{A B})$ ；② $\frac{a}{c} = \frac{\cos A + 1}{\sqrt{3} \sin C}$ ；③ $\frac{\sin B}{\sin C} + \frac{\sin C}{\sin B} = \frac{\sin^{2} A}{\sin B \sin C} + 1$ ；
请从这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题：在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且________.

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，且 $b = 2$ ， $c = 3$ ，求线段 $A D$ 的长.

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4、在 $△ A B C$ 中，已知 $B C = 3$ ， $A C = 4$ ，点 $P$ 为线段 $B C$ 中点， $\vec{A Q} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ ，设 $\vec{C B} = \vec{a}$ ， $\vec{C A} = \vec{b}$ .

(1)、用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{C Q}$ ；

(2)、若 $∠ A C B = 90 °$ ，求 $\vec{A P} \cdot \vec{C Q}$ .

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5、如图，已知在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $F$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点， $E$ 为棱 $B B_{1}$ 上的动点， $A A_{1} = 2$ ， $A B = 2$ ， $B C = 3 \sqrt{2}$ ， $A C = 4$ .当 $E$ 是棱 $B B_{1}$ 的中点，则三棱锥 $E - A B C$ 体积为；当三棱锥 $A_{1} - A E F$ 的外接球的半径最小时，直线 $E F$ 与 $A A_{1}$ 所成角的余弦值为.

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6、已知频率分布直方图如图所示，记其平均数为 $a$ ，中位数为 $b$ ，则 $a$ 与 $b$ 的大小关系为.

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7、甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是 $\frac{2}{3}$ 、 $\frac{3}{5}$ ，那么恰好只有1人解对题的概率是.

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8、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $A = 60 °$ ， $a = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ B、若 $A = 60 °$ ， $a = 1$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ C、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $b = 4$ ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 $A \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ D、若 $a + b = c (\cos A + \cos B)$ ，且 $c = 1$ ，则该三角形内切圆面积的最大值为 $\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{4} π$

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9、设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（）

A、若 $(1 + i) z = - i$ ，则 $|z| = 1$ B、对任意复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ，有 $|z_{1} z_{2}| = |z_{1}| \cdot |z_{2}|$ C、对任意复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ，有 $\bar{z_{1} \cdot z_{2}} = \bar{z_{1}} \cdot \bar{z_{2}}$ D、在复平面内，若 $M = {z | |z - 2| \leq 2}$ ，则集合M所构成区域的面积为 $6 π$

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10、如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径 $2 R$ 相等，下列结论正确的是（）

A、圆柱的侧面积为 $4 π R^{2}$ B、圆锥的侧面积为 $\sqrt{5} π R^{2}$ C、圆柱的侧面积与球面面积相等 D、三个几何体的表面积中，球的表面积最小

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11、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为8，二面角 $C_{1} - A B - C$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ ，且 $A C = B C$ ， $C C_{1} = 2$ ，则点 $A_{1}$ 到平面 $A B C_{1}$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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12、掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件 $A$ 表示“两个点数都是偶数”，事件 $B$ 表示“两个点数都是奇数”，事件 $C$ 表示“两个点数之和是偶数”，事件 $D$ 表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（）

A、 $A$ 与 $B$ 是对立事件 B、 $A$ 与 $C \cap D$ 是互斥事件 C、 $B$ 与 $D$ 是相互独立事件 D、 $B$ 与 $C \cup D$ 是相互独立事件

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13、设 $α$ ， $β$ 是两个不重合的平面， $m$ ， $n$ 是两条直线，则下列命题为真命题的是（）

A、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $m / / α$ ， $n \subset α$ ，则 $m // n$ C、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m / / β$ ， $n // β$ ，则 $α // β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n \subset α$ ，则 $m ⊥ n$

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14、某校有小学生、初中生和高中生，其人数比是 $5 : 4 : 3$ ，为了解该校学生的视力情况，采用按比例分层抽样的方法抽取一个样本量为 $n$ 的样本，已知样本中高中生的人数比小学生的人数少20，则 $n =$ （）

A、100 B、120 C、200 D、240

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15、已知向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{2})$ ， $\vec{b} = (2, 0)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(2, 0)$ C、 $(1, 0)$ D、 $(2, 1)$

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16、已知数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{8}$ 的平均数为10，方差为10，则 $3 x_{1} + 2, 3 x_{2} + 2, 3 x_{3} + 2, \dots, 3 x_{8} + 2$ 的平均数和方差分别为（）

A、32，90 B、32，92 C、30，90 D、30，92

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17、下列命题中正确的是（）

A、零向量没有方向 B、共线向量一定是相等向量 C、若 $λ$ 为实数，则向量 $\vec{a}$ 与 $λ \vec{a}$ 方向相同 D、单位向量的模都相等

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18、在复平面中，复数 $z = \frac{2 - 3 i}{1 + i}$ 对应的点的坐标在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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19、已知函数 $f (x) = (x - a) e^{x} - x, a \in R, f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数．

(1)、证明： $f^{'} (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上存在唯一零点 $x_{0}$ ；

(2)、设函数 $g (x) = (x^{2} - a x + 1) e^{x} - (\frac{1}{2} x^{2} + x + 1)$ ．
①当 $a = \frac{2 e - 1}{e}$ 时，求函数 $g (x)$ 的单调区间；
②当 $a \in (- \infty, \frac{e - 4}{2})$ 时，讨论函数 $g (x)$ 零点的个数．

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20、为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量 $y$ （单位：万台）关于 $x$ （年份）的线性回归方程 $y = 4.7 x - 9459.2$ ，且销量 $y$ 的方差为 $s_{y}^{2} = \frac{254}{5}$ ，年份 $x$ 的方差为 $s_{x}^{2} = 2$ ．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的相关系数 $r$ ，并据此判断电动汽车销量 $y$ 与年份 $x$ 的线性相关性的强弱．

(2)、该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
性别
购买非电动汽车
购买电动汽车
总计
男性
39
6
45
女性
30
15
45
总计
69
21
90
依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？

(3)、在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中男性的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．
①参考数据： $\sqrt{5 \times 127} = \sqrt{635} \approx 25$ ．
②参考公式：线性回归方程为 $y = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；
相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，若 $|r| > 0.9$ ，则可判断 $y$ 与 $x$ 线性相关较强；
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．附表：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
6.635
10.828

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	数学成绩优秀	数学成绩不优秀	合计
经常总结整理
不经常总结整理
合计

性别	购买非电动汽车	购买电动汽车	总计
男性	39	6	45
女性	30	15	45
总计	69	21	90

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	10.828