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相关试卷

1、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $F$ 是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内一动点（包括边界），则（）

A、 $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ B、若 $C F = \sqrt{5}$ ，则点 $F$ 的轨迹长度为 $\frac{π}{2}$ C、若 $C F / /$ 平面 $A_{1} B D$ ，则点 $F$ 的轨迹长度是 $4 \sqrt{2}$ D、当点 $Q$ 在直线 $A_{1} B$ 上运动时， $D Q + C_{1} Q$ 的最小值是 $2 \sqrt{6}$

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2、欧拉公式 $e^{x i} = cos x + isin x$ 是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（）

A、 $\sqrt{2} e^{\frac{π}{4} i} \times 3 i = - 3 + 3 i$ B、 $e^{3 πi} < 0$ C、 $e^{4 i}$ 在复平面内对应的点位于第四象限 D、 $|\frac{2 e^{(x + 5) i}}{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}| = 1$

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3、掷两枚质地均匀的骰子，设 $M =$ “第一枚出现的点数大于3”， $N =$ “第一枚出现的点数小于3”， $S =$ “第一枚出现的点数小于4”， $Q =$ “第二枚出现的点数小于5”，则（）

A、 $P (M \cup N) = 1$ B、 $P (M \cup S) = 1$ C、 $P (N Q) = \frac{2}{9}$ D、 $P (M \cup Q) = \frac{5}{6}$

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4、在中国文化中，八边形常常被看作是四平八稳、镇宅保平安的象征.比如，八角楼、八角塔、八边花窗、八角门环和八遍园林门径等，都有着这样的寓意.如图，在边长为 $2 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ 的正八边形 $A B C D E F G H$ 中，若 $△ B E H$ 内的一点 $P$ 满足 $∠ E P H = ∠ B P H = ∠ B P E = \frac{2π}{3}$ ，则 $\vec{P E} \cdot \vec{P H} + \vec{P B} \cdot \vec{P H} + \vec{P B} \cdot \vec{P E} =$ （）

A、 $- \frac{4 (\sqrt{3} + \sqrt{6})}{3}$ B、 $- \frac{4 (\sqrt{3} - \sqrt{6})}{3}$ C、 $- \frac{4 (\sqrt{3} + 2 \sqrt{6})}{3}$ D、 $- 4 (\sqrt{3} + \sqrt{6})$

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5、正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B C = 2, A A_{1} = 3$ ，则二面角 $A - B D - C_{1}$ 的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{22}}{22}$ B、 $\frac{\sqrt{22}}{11}$ C、 $- \frac{\sqrt{22}}{22}$ D、 $- \frac{\sqrt{22}}{11}$

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, A D / / B C, A B ⊥ B C$ ， $A B = 4, P A = 5, B C = 2$ ，则异面直线 $P C$ 与 $A D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{15}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{9}{10}$

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7、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2), \vec{b} = (λ, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $cos ⟨ 3 \vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - 2 \vec{b} ⟩ =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{5}$

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8、已知 $a, b, c$ 是三条直线， $α, β$ 是两个平面，则 $a ⊥ α$ 的一个充分条件是（）

A、 $a ⊥ b, a ⊥ c, b \subset α, c \subset α$ B、 $α ⊥ β, α \cap β = b, c \subset α, a ⊥ b, a ⊥ c$ C、 $α ⊥ β, α / / β$ D、 $a / / b, b / / c, c ⊥ β, α ∥ β$

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9、若复数 $z = m^{2} - 2 m - 3 + i (m^{2} - 3 m - 4) (m \in R)$ 为纯虚数，则 $(z + 3 + 5 i) (1 + i)$ 的虚部为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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10、某学校高三体检时将学生分为10人一组，测得其中一组的心率依次为61、64、65、62、61、74、62、62、70、78，则这组数据的第70百分位数是（）

A、65 B、67 C、67.5 D、70

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11、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + 2 \cos^{2} x - 1$ ．

(1)、若 $α \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ，且 $f (\frac{α}{2}) = \frac{1}{2}$ ，求 $\cos (α + \frac{5 π}{12})$ 的值；

(2)、在锐角三角形中，若 $f (A) = 1$ ，求 $\sin B + \sin C$ 的取值范围；

(3)、设函数 $g (x) = (1 - \frac{a}{2}) f (x) + \frac{1}{2} \sin (4 x - \frac{π}{6}) + \frac{3}{2}$ ，若 $g (x) > 0$ 在区间 $[\frac{7 π}{12}, \frac{5 π}{6}]$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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12、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的侧面 $P A D$ 是边长为2的正三角形，底面 $A B C D$ 为正方形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $N$ 为线段 $A D$ 的中点．

(1)、求证： $P N ⊥ N C$ ；

(2)、求二面角 $D - P N - C$ 的正切值；

(3)、求异面直线 $P A$ 与 $N C$ 所成角的余弦值．

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13、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，目 $a \sin B = 2 b \cos A$ ．

(1)、求 $\cos A$ 的值；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{10}$ ， $b = 5$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若 $b = \sqrt{5}$ ， $c = 3$ ，求 $△ A B C$ 中 $B C$ 边上的中线长．

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 为线段 $P D$ 的中点．

(1)、求证： $P B //$ 平面 $A E C$ ；

(2)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B D$

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15、已知向量 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ．

(1)、求 $| \vec{a} + \vec{b} |$ 的值；

(2)、若向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 垂直，求 $k$ 的值；

(3)、若向量 $k a + b$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为锐角，求 $k$ 的取值范围．

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16、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $B A = B C = B B_{1} = 1$ ， $P$ 是棱 $A C$ 上一动点，则三棱锥 $P - A_{1} B C_{1}$ 的体积为．

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17、某海警船在 $A$ 处看灯塔 $B$ 在它的北偏东 $75 °$ ，距离为 $3 \sqrt{6} n mile$ ，在 $A$ 处看灯塔 $C$ 在海警船的北偏西 $30 °$ ，距离为 $2 \sqrt{3} n mile$ ，海警船由 $A$ 处向正北航行到 $D$ 处时，再看灯塔 $B$ 在南偏东 $60 °$ ，则灯塔 $C$ 与 $D$ 处之间的距离为 $n mile$ ．

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18、若复数 $z = (m^{2} - 3 m) + (m^{2} - 5 m + 6) i$ 是纯虚数，则 $| z | =$ ．

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19、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M，N，P分别是线段 $C_{1} D_{1}$ ， $C_{1} C$ ， $A_{1} A$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $B_{1} N ⊥$ 平面 $A B N$ B、正方体的外接球的表面积为 $12 π$ ，体积为 $4 \sqrt{3} π$ C、平面 $B M P$ 截正方体所得截面的形状是五边形 D、若底面 $A B C D$ 内的动点 $Q$ （包含边界）满足 $D_{1} Q //$ 平面 $B M N$ ，则 $C Q \in [0, \sqrt{5}]$

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20、在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别是线段 $B C$ 上的两个三等分点（ $D$ ， $E$ 两点分别靠近 $B$ ， $C$ 两点），则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A B} - \vec{A D} = \vec{A C} - \vec{A E}$ B、 $\vec{A B} = 2 \vec{A D} - \vec{A E}$ C、若 $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = | \vec{O C} | = 1$ ， $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{A E} = \frac{13}{6}$ D、若 $(\vec{A B} + \vec{A C}) ⊥ \vec{B C}$ ， $|\vec{A B} + \vec{A C}| = |\vec{A B} - \vec{A C}| = 2$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{A E} = \frac{8}{9}$

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