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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，其中 $a = 3, b = 2, cos (A + B) = \frac{1}{3}$ ，则 $c =$ .

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2、已知函数 $f (x) = sin (x + \frac{π}{3}) + sin (\frac{π}{6} - x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$ B、 $f (x - \frac{π}{12})$ 为偶函数 C、 $f (x - \frac{π}{12})$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{12}, \frac{3 π}{2}]$ 上有2个零点

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3、已知向量 $\vec{a} = (2, - 3)$ ， $\vec{b} = (- 2, - 1)$ ，则（）

A、 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 可作为一组基底向量 C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为 $- \frac{\sqrt{65}}{65}$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为 $(\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$

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4、已知 $A, B, C, D$ 为球面上四点， $M, N$ 分别是 $A B, C D$ 的中点，以 $M N$ 为直径的球称为 $A B, C D$ 的“伴随球”.若三棱锥 $A - B C D$ 的四个顶点均在表面积为 $100 π$ 的球面上，它的两条棱 $A B, C D$ 的长度分别为8和6，则 $A B, C D$ 的伴随球的体积的取值范围是（）

A、 $[\frac{π}{4}, \frac{343 π}{3}]$ B、 $[\frac{π}{4}, \frac{343 π}{6}]$ C、 $[\frac{π}{6}, \frac{343 π}{3}]$ D、 $[\frac{π}{6}, \frac{343 π}{6}]$

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5、已知函数 $f_{n} (x) = x^{n} + x + a$ ，其中 $n \in N$ 且 $n \geq 2, a < 0$ 且为常数.若对任意 $n \in N$ 且 $n \geq 2$ ， $y = f_{n} (x)$ 在 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内均存在唯一零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(- 1, - \frac{3}{4})$ C、 $(- 2, - \frac{3}{4})$ D、 $(- 2, - 1)$

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6、《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒､立春､惊蛰日影长之和为 $31.5$ 尺，前八个节气日影长之和为 $80$ 尺，则小满日影长为（）

A、1.5尺 B、3.5尺 C、5.5尺 D、7.5尺

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7、若直线 $l :$ $x - y + m^{2} - 6 = 0$ 平分圆 $C :$ $x^{2} + 2 m x + y^{2} + 4 = 0$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $- 2$ 或 $3$

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8、曲线 $f (x) = e^{x} - 3 x^{2}$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为（）

A、 $x + y + 1 = 0$ B、 $x + y - 1 = 0$ C、 $x - y - 1 = 0$ D、 $x - y + 1 = 0$

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9、设 $α, β, γ$ 是三个不同平面，且 $α \cap γ = l, β \cap γ = m$ ，则 $α ∥ β$ 是 $l ∥ m$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、为了得到 $y = sin (5 x + \frac{π}{3})$ 的图象，只要将函数 $y = \sin 5 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{15}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{15}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度

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11、若 $(1 - i) z = 3 + i$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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12、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 为正方形， $A B = B C = 2$ ， E，F分别为 $A C$ 和 $C C_{1}$ 的中点，D为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点． $B F ⊥ A_{1} B_{1}$
（1）证明： $B F ⊥ D E$ ；
（2）当 $B_{1} D$ 为何值时，面 $B B_{1} C_{1} C$ 与面 $D F E$ 所成的二面角的正弦值最小?

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13、所有非零向量构成的集合为 $V$ ，对于 $\vec{a}, \vec{b} \in V, \vec{a} \neq \vec{b}$ ，定义 $V (\vec{a}, \vec{b}) = \{\vec{m} \in V |\vec{m} \cdot \vec{a} = \vec{m} \cdot \vec{b}\}$ .

(1)、已知 $\vec{a} = (- 1, 2), \vec{b} = (1, 3)$ ，若 $\vec{m} \in V (\vec{a}, \vec{b})$ ，且 $|\vec{m}| = \sqrt{5}$ ，求 $\vec{m}$ ；

(2)、已知 $\vec{a} = (- 1, 2), \vec{b} = (1, 3)$ ，若 $\vec{m} = (\cos α, \sin α)$ ，且 $\vec{m} \in V (\vec{a}, \vec{b})$ ，求 $\frac{\vec{m} \cdot (2 \vec{a} + \vec{b})}{\vec{m} \cdot (2 \vec{b} - \vec{a})}$ ；

(3)、已知 $\vec{m} = (1, 1), \vec{a} = (2 - 2 \cos^{2} x, 1 + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x), \vec{b} = (λ, 3)$ ，当 $\vec{m} \in V (\vec{a}, \vec{b})$ 时，若关于 $x$ 的方程有三个连续的实数根 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}, x_{3} + 2 x_{1} = 3 x_{2}$ ，求实数 $λ$ 的值.

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14、如图1，在梯形 $A B C D$ 中， $B C = 2 A B = 2 A D = 2 \sqrt{2}$ ， $A B ⊥ A D$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 翻折到 $△ P B D$ 如图2，使平面 $P B D ⊥$ 平面 $B D C$ .

(1)、求证： $P B ⊥$ 平面 $P D C$ ；

(2)、已知点 $M$ 为棱 $C D$ 上的点，若直线 $B M$ 与平面 $P C D$ 所成的角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{34}}{17}$ .
①求三棱锥 $P - B D M$ 的体积；
②过点 $M$ 作平面 $α$ ，使平面 $α / /$ 平面 $P B D$ ，求平面 $α$ 截三棱锥 $P - B C D$ 所得截面的面积.

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15、在 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别是 $a 、 b 、 c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S_{△ A B C}$ ，若 $a^{2} + b^{2} - c^{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} S_{△ A B C}$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{3}$ ，点 $M$ 是边 $A B$ 的中点，求 $C M$ 的最大值.

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16、深州蜜桃具有个头硕大、色泽鲜艳、肉质鲜嫩、口味香甜的特点，在历史上一直备受推崇和喜爱.每个桃子的质量约6、7两，最大的可有1斤2两，被称为“桃中之魁”.如今，深州市大力倡导恢复古法种植技术，蜜桃种植户小李现在老树上有6000个蜜桃，新树上有4000个蜜桃，为了测蜜桃的质量，从新树上随机摘了8个蜜桃，从老树上随机摘了12个蜜桃，经称量，这8个新树上的蜜桃的质量（单位：克）依次为：310、446、480、441、451、510、475、407.

(1)、求这8个蜜桃质量的平均数与方差；

(2)、经检测12个老树上的蜜桃的质量的平均数为440，方差为3882，计算总样本的平均数与方差；

(3)、小李按新树与老树上的蜜桃个数用分层抽样随机取了5个蜜桃，然后再从这5个蜜桃中随机拿出两个让顾客品尝，求拿出的两个蜜桃至少有1个是新树上的蜜桃的概率.

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17、某乡镇企业2024年1～4月份生产的产品产量 $x (1000 x \in N)$ （单位：千件）与收益 $y$ （单位：万元）的统计数据如下表：
月份
$1$
$2$
$3$
$4$

产品产量 $x /$ 千件
$1$
$3$
$7$
$15$
…
收益 $y /$ 万元
$1$
$2$
$3$
$4$
…
已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，给出以下4个函数模型：① $y = - a x + b$ ；② $y = b a^{x}$ ；③ $y = - x^{2} - a x + b$ ；④ $y = \log_{a} (x + b)$ .

(1)、选择一个恰当的函数模型来描述 $x$ ， $y$ 之间的关系，并求出其解析式；

(2)、已知该乡镇企业由于场地小，最多只能生产500千件，否则需要搬迁，现镇政府想使该企业的收益在10万元以上（含10万元），此企业是否应搬迁？

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18、已知复数 $z_{1} = - m + (4 - m) i (m \in R)$ ， $z_{2} = 2 sin θ + (\frac{2}{sin θ} - λ) i (λ \in R, θ \in (π, 2 π))$ 并且 ${\bar{z}}_{1} = z_{2}$ ，则 $λ$ 的最大值为，此时 $z_{1}$ 的实部为.

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19、若一个正四棱柱的表面积为64，高为2，则该正四棱柱的外接球的体积为.

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20、某中学高一年级有400人，高二年级有600人，高三年级有500人，若用分层抽样在该中学抽取容量为60的样本，则应从高三年级抽取人.

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月份	$1$	$2$	$3$	$4$
产品产量 $x /$ 千件	$1$	$3$	$7$	$15$	…
收益 $y /$ 万元	$1$	$2$	$3$	$4$	…